Математическое доказательство

Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, законов и т.п. соответствующей науки) и демонстрация (сама процедура развертывания доказательства; последовательная цепь умозаключений, когда n-ное умозаключение становится одной из посылок n+1-го умозаключения). Выделяются правила доказательства, указаны возможные логические ошибки.

Математическое доказательство имеет много общего с теми принципами, которые устанавливаются формальной логикой. Более того, математические правила рассуждений и операций, очевидно, послужили одной из основ в разработке процедуры доказательства в логике. В частности, исследователи истории становления формальной логики считают, что в свое время, когда Аристотель предпринял первые шаги по созданию законов и правил логики, он обратился к математическим и к практике юридической деятельности. В этих источниках он и находил материал для логических построений задуманной теории.

В XX в. понятие доказательства утратило строгий смысл, что произошло в связи с обнаружением логических парадоксов, таившихся в теории множеств и особенно в связи с результатами, которые принесли теоремы К. Геделя о неполноте формализации.

Прежде всего это коснулось самой математики, в связи с чем было высказано убеждение, что термин "доказательство" не имеет точного определения. Но если уж подобное мнение (имеющее место и поныне) затрагивает самое математику, то приходят к выводу, согласно которому доказательство следует принять не в логико-математическом, а в психологическом смысле. При том подобный взгляд обнаруживают и у самого Аристотеля, считавшего, что доказать означает провести рассуждение, которое убедило бы нас в такой степени, что, используя его, убеждаем других в правоте чего-либо. Определенный оттенок психологического подхода находим у А.Е. Есенина-Вольпина. Он резко выступает против принятия истины без доказательства, связывая это с актом веры и далее пишет: "Доказательством суждения я называю честный прием, делающий это суждение неоспоримым"154. Есенин отдает отчет, что его определение нуждается еще в уточнениях. Вместе с тем, сама характеристика доказательства как "честного приема" не выдает ли апелляцию к нравственно-психологической оценке?

Вместе с тем обнаружение теоретико-множественных парадоксов и появление теорем Геделя как раз содействовали и разработке теории математического доказательства, предпринятой интуиционистами, особенно конструктивистского направления, и Д. Гильбертом.

Иногда считают, что математическое доказательство носит всеобщий характер и представляет идеальный вариант научного доказательства. Однако оно - не единственный метод, есть и другие способы доказательных процедур и операций. Верно лишь то, что у математического доказательства немало сходного с формально-логическим, реализуемом в естествознании, и что математическое доказательство имеет определенную специфику, равно, как и набор приемов-операций. На этом мы и остановимся, опуская то общее, что роднит его с другими формами доказательств, то есть не развертывая во всех шагах (даже и основных) алгоритм, правила, ошибки и т.п. процесса доказательства.

Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность (конечно, в математическом, то есть как выводимость, смысле) какого-либо утверждения.

Свод правил, применяемых в доказательстве, сформировался вместе с появлением аксиоматических построений математической теории. Наиболее четко и полно это было реализовано в геометрии Эвклида. Его "Начала" стали своего рода модельным эталоном аксиоматической организации математического знания и долгое время оставались таковыми для математиков.

Высказывания, представляемые в виде определенной последовательности, должны гарантировать вывод, который при соблюдении правил логического оперирования и считается доказанным. Необходимо подчеркнуть, что определенное рассуждение является доказательством только относительно некоторой аксиоматической системы.

При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вся процедура обоснования истинности вывода осуществляется в рамках принимаемой аксиоматики. Академик А.Д Александров в связи с этим подчеркивает. Можно тысячи раз измерять углы треугольника и убедиться, что они равны 2d. Но математику этим ничего не докажешь. Ему докажешь, если выведешь приведенное утверждение из аксиом. Повторимся. Здесь математика и близка методам схоластики, которая также принципиально отвергает аргументацию опытно данными фактами.

К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты.

Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).

Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания (См.: гл. V, 4).

Сама процедура доказательства, определяемая в логике как демонстрация, протекает на основе правил вывода, опираясь на которые осуществляется переход от одних доказанных утверждений к другим, образуя последовательную цепь умозаключений. Наиболее распространены два правила (подстановки и вывода заключений) и теорема о дедукции.

Правило подстановки. В математике подстановка определяется как замена каждого из элементов a данного множества каким-либо другим элементом F (a) из того же множества. В математической логике правило подстановки формулируется следующим образом. Если истинная формула M в исчислении высказываний содержит букву, скажем A, то, заменив ее повсюду, где она встречается, произвольной буквой D, мы получим формулу, также истинную, как и исходная. Это возможно, и допустимо потому именно, что в исчислении высказываний отвлекаются от смысла высказываний (формул)... Учитываются только значения "истина" или "ложь". Например, в формуле M: A--> (BUA) на место A подставляем выражение (AUB), в результате получаем новую формулу (AUB) -->.

Правило вывода заключений соответствует структуре условно-категорического силлогизма modus ponens (модус утверждающий) в формальной логике. Он имеет следующий вид:

a--> b

a .

b

Дано высказывание (a-> b) и еще дано a. Из этого следует b.

К примеру: Если идет дождь, то мостовая мокрая, дождь идет (a), следовательно, мостовая мокрая (b). В математической логике этот силлогизм записывается таким образом (a-> b) a-> b.

Умозаключение определяется как правило отделения для импликации. Если дана импликация (a-> b) и ее антецедент (a), то мы вправе присоединить к рассуждению (доказательству) также и консеквент данной импликации (b). Силлогизм носит принудительный характер, составляя арсенал дедуктивных средств доказательства, то есть абсолютно отвечая требованиям математических рассуждений.

Большую роль в математическом доказательстве играет теорема о дедукции - общее название для ряда теорем, процедура которых обеспечивает возможность установить доказуемость импликации : A-> B, когда налицо логический вывод формулы B из формулы A. В наиболее распространенном варианте исчисления высказываний (в классической, интуиционистской и др. видах математики) теорема о дедукции утверждает следующее. Если дана система посылок G и посылка A, из которых, согласно правилам, выводимо B Г , A B ( - знак выводимости), то следует, что только из посылок G можно получить предложение A--> B.

Мы рассмотрели тип, который является прямым доказательством. Вместе в тем в логике используются и так называемые косвенные (то есть не прямые) доказательства, которые развертываются по следующей схеме. Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и стало быть является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (a v ) - вывод об истинности тезиса.

В математике широко используется одна из форм косвенного доказательства - доказательство от противного. Оно особенно ценно и по сути незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Операция доказательства от противного представлена в математической логике следующим образом. Дана последовательность формул G и отрицание A (G , A). Если из этого следует B и его отрицание (G , A B, не-B), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса.