Нужна помощь в написании работы?

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величинаС. в. Х (одномерная) - величина, могущая принять различные вероятные значения х на некотором интервале (-¥£х£¥), т.е. х - возможное значение с.в. Х.

С. в. может быть дискретной и непрерывной. Вероятностные свойства с.в. Х характеризуются интегральной функцией распределения Р(x). Значение функции Р(x) равно вероятности обнаружить с.в. Х<х (или, что то же, на интервале ‑¥, х) т.е. Р(x)=Prob(X<x), где х - конкретная детерминированная величина.

Если с.в. Х может принимать лишь дискретные значения х1, х2,...хn с вероятностями р1, р2,...рn, то функция распределения представляет собой сумму вероятностей тех значений хk, которые меньше х.

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина.                                                                 (12.3)

На рисунке Prob(X£x3)=Р(х3)=0,5, (т.е. Х=х1 или Х=х2 или Х=х3). Prob(X=x4)=0,6-0,5=0,1 (скачок равен вероятности появления значения х4).

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величинаФункция распределения числа m наступления события в последовательности n независимых испытаний (согласно формуле (11.2)).

Биномиальный закон распределения:

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина        (13.3)

  Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина.

Если с.в. Х непрерывна, то функция распределения имеет вид, показанный на рисунке.

Свойства функции распределения:

1)  Р(х) - неубывающая функция аргумента х

(т.е. при x2>x1 P(x2)=Prob(X<x2)>P(x1)=Prob(X<x1));

2)  При x=-¥ P(x)=0;

3)  При x=+¥ P(x)=1;

4)  Prob(x1<X£x2)=P(x2)-P(x1)                                                                                                         (14.3);

5)  Prob(X=x1)=0. Вероятность обнаружить число, например 241.000...¥ равно 0. Однако, делая измерения, мы округляем значения, тем самым, увеличивая вероятность их появления. Например, округленное 241.0 содержит значения от 240.9500...¥ до 241.04999... ¥ и вероятность попадания числа в этот интервал не равна 0.

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величинаРаспределение с.в. Х характеризуется также функцией плотности распределения с.в. Для дискретных значений с.в. функция плотности распределения может задаваться таблично. График функции р(х)=рi при x=xi изображен на рис.  .

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величинаТ.к. возможные значения xi с.в. образуют полную группу несовместных событий (т.е. в каждом из n испытаниях с.в. обязательно примет одно из значений xi с определенной вероятностью), то Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина, где n - число испытаний.

Для непрерывной с.в. функция плотности распределения имеет вид, показанный на рисунке.

Если функция распределения с.в. Р(х) - непрерывна, то            Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                    (15.3)

или Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина. По непрерывной кривой плотности распределения, в отличие от дискретной, вероятность обнаружить точное число х2 равна нулю. При помощи функции р(х) вероятность обнаружить с.в. Х в бесконечно малом интервале x<X<x+dx равна Prob(x<X<x+dx)=p(x)dx (площадь прямоугольника, dx®0). То же в конечном интервале x1<X<x2:

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                             (16.3)

(Геометрически это заштрихованная площадь под кривой плотности распределения).

Из (15) следует, что Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                                            (17.3),

поэтому функцию распределения называют еще интегральной функцией распределения.

Свойства функции плотности распределения:

1)  Плотность распределения вероятностей - неотрицательная функция р(х)³0.

2)  Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                                                                                                  (18.3),

что эквивалентно Р(¥)=1.

3) Размерность р(х) обратная размерности с.в., а Р(х) - безразмерна.

4) Числовые характеристики распределения

Математическое ожидание с.в. Х :

 - дискретной

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                                      (19.3)

при этом Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина              (М(x) - случайна при n¹¥).

 - непрерывной

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                                        (20.3).

Математическое ожидание Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина - достоверная величина, т.к. вероятность того, что при n=¥ испытаниях мы получим среднее арифметическое М(X)=Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина равна 1.

М(с)=с,   М(сx) = сМ(x), где с – неслучайное число.

Для независимых с.в. Х1 и Х2

М(x1+x2)=М(x1)+М(x2), М(x1x2)=М(x1)М(x2), М(x2)=2+D(x).

К математическому ожиданию стремится среднее арифметическое наблюдаемых значений с.в. при количестве испытаний n®¥. Геометрически м.о. – это абсцисса ц. т. площади под кривой плотности распределения. Размерность м.о. совпадает с размерностью с.в.

Дисперсия с.в. Х - м.о. квадрата отклонения с.в. Х от ее м.о. (центра распределения):

D(x)=M2=M(x2)-M2(x),

т.к. M2=M=M(x2)-2M2(x)+M2(x),

M=2M2(x) и M=M(x).

Дисперсия дискретной с.в. Х

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                               (21.3)

случайна при n¹¥.

Дисперсия непрерывной с.в. Х:

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                         (22.3),

(дисперсия непрерывной с.в. - достоверна).

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина - математическое ожидание.

Дисперсия характеризует разброс с.в. вокруг ее среднего значения (математического ожидания).

D(c)=0,

D(cx)=c2D(x),

D(c+x)=D(x).

Доказательство.

 D(cx)=M2=M=

c2M(x2)-M+M=

c2M(x2)-2c2M2(x)+c2M2(x)=

c2=c2D(x). D(c+x)=

M2=M2=M2=D(x).

Для независимых с.в. Х1 и ХD(x1±x2)=D(x1)+D(x2).

Геометрически дисперсия – это центральный момент инерции площади под кривой плотности распределения. Размерность дисперсии - квадрат размерности с.в.

Среднеквадратическое отклонение (стандарт): Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина.

Асимметрия непрерывной с.в. Х:

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                           (23.3).

Если с.в. Х распределена симметрично относительно своего м.о., то А(х)=0.

Коэффициент изменчивости (вариации) с.в. Х - отношение стандарта к м.о.:

Характеристики распределения случайных величин. одномерная случайная величина                                                                   (24.3).

Поделись с друзьями
Добавить в избранное (необходима авторизация)