Критерии проверки статистических гипотез о виде распределения вероятностей

Критерии проверки статистических гипотез о виде распределения вероятностей

1) для выбора адекватного метода исследования, в частности нахождения параметров эконометрической модели;

2) для понимания свойств генеральной совокупности;

Наиболее популярные критерии: Критерий Колмогорова. Критерий ХИ-квадрат Пирсона.

Критерий согласия Пирсона χ2  – один из основных, который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между теоретическими (fТ) и эмпирическими (f) частотами к теоретическим частотам:

• k–число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,  
• fi–наблюдаемая частота признака в i-й группе,
• fT–теоретическая частота.

Для распределения χ2 составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия χ2 для выбранного уровня значимости α и степеней свободы df (или ν).
Уровень значимости α – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. Р — статистическая достоверность принятия верной гипотезы. В статистике чаще всего пользуются тремя уровнями значимости:

α=0,10,  тогда Р=0,90 (в 10 случаях из 100)

α=0,05,  тогда Р=0,95 ( в 5 случаях из 100)

α=0,01,  тогда Р=0,99 (в 1 случае из 100) может быть отвергнута правильная гипотеза

Число степеней свободы df определяется как число групп в ряду распределения минус число связей: df = k –z.  Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты. Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи. Поэтому при выравнивании покривой нормального распределения число степеней свободы определяется как df =k–3. Для оценки существенности, расчетное значение сравнивается с табличным χ2табл

При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений χ2=0, в противном случае χ2>0. Если χ2расч> χ2табл, то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем. В случае, если χ2расч< χ2табл то гипотезу принимаем и с вероятностью Р=(1-α) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно. Следовательно, есть основания утверждать, что эмпирическое распределение подчиняется нормальному распределению. Критерий согласия Пирсона используется, если объем совокупности достаточно велик (N>50), при этом, частота каждой группы должна быть не менее 5.

Критерий согласия Колмогорова  основан на определении максимального расхождения между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами:

где D и d – соответственно, максимальная разность между накопленными частотами  и накопленными частостями  эмпирического и теоретического распределений.
По таблице распределения статистики Колмогорова определяют вероятность, которая может изменяться от 0 до 1. При Р(λ)=1- происходит полное совпадение частот, Р(λ)=0 – полное расхождение. Если величина вероятности Р значительна по отношению к найденной величине λ, то можно предположить, что расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественны, т. е. носят случайный характер. 
Основное условие использования критерия Колмогорова – достаточно большое число наблюдений.