Оценка существенности параметров линейной регрессии и корреляции (F-критерий Фишера, связь F-критерия с коэффициентом детерминации)

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, при этом выдвигается нулевая гипотеза, что коэффициент регрессии b=0, и, следовательно фактор x не оказывает влияния на результат y.

Непосредственно расчету F-критерий Фишера предшествует дисперсионный анализ.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения  раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

, где

 – общая сумма квадратов отклонений;

 – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений);

 – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид (n– число наблюдений, m – число параметров при переменной x).

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера:

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением Fтабл(a;k1,k2) при уровне значимости a и степенях свободы k1=m и k2=n-m-1. При этом, если фактическое значение F-критерия больше табличного, то гипотеза H0 отклоняется, делается вывод о существенности связи между x и y, признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессииm=1, поэтому

                        .

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле: