Нужна помощь в написании работы?

Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления.

В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:

s1=(l+2G)e1 + l e2+  le3,                                                  (3.1)

s2= le1+ (l+2G )e2 + le3,                                                  (3.2)

s3= le1+ le2 + (l+2G )e3                                                  (3.3)

где упругие модули l и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе.

Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации e возникает напряжение (l+2G)e в том же направлении и напряжения le в других взаимно перпендикулярных направлениях:

                                                   (3.4)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

                                     (3.5)

                                     (3.6)

где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10 – 100 ГПа) и n (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.1 – 0.4)- материальные параметры среды.

Главная компонента напряжения s создаёт деформацию s/E в направлении своего действия и деформации  -ns/E в двух других взаимно перпендикулярных направлениях.

Упругие свойства среды характеризуют, задавая l и G или E и n. Эти параметры не являются независимыми.

Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, s1. s2 = s3 = 0 , тогда

                                                                   (3.7)

Отсюда видно, что напряжение s1 вызывает не только деформацию e1 в направлении своего действия, но и деформации в перпендикулярных направлениях e2 и e3.

Если s1 - напряжение сжатия, то e1 - укорочение, а e2 и e3 - удлинения.

 Эти деформации показаны на рис. 3.2, (Рис.3.2. Деформация под действием одноосного сжатия), где элементdxdydz стал короче в направлении оси   n, но толще в направлении осей х и z.

В соответствии с равенствами (3.4)- (3.6) мы можем написать:

                                                               (3.8)

Сравнивая это равенство с (3.7), получаем:

                                                                        (3.9)

Из (3.1) и (3.7) находим

,                                                 (3.10)

совместно с (3.8) для модуля Юнга получаем:

                                                                  (3.11)

С помощью (3.9) (3.11) выражаем l и G через E и n:

                                                                          (3.12)

                                                     (3.13)

В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение (3.8) превращается в закон Гука:

s1  =  E e1                                                                                                                           (3.14)

Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.

Относительное изменение объёма (дилатация D) определяется в этом случае выражением:

D = e + e2 + e3 = e1(1 - 2n)                                            (3.15)

Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении  действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях.

Из выражения (3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения.

Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии n должно быть равно ½. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.

Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, e1.Тогда (3.1)- (3.3.) дают

s1= (l + 2G)e1                                                                                                               (3.19)

                                    (3.20)

а (3.4)-(3.6) упрощаются следующим образом:

                                                    (3.21)

                                                   (3.22)

Плоское напряжённое состояние. Возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, s3 = 0,s2 ¹ 0,s 1¹ 0. (Рис.3.5. Плоское напряжённое состояние). Тонкая пластина нагружена с боков. Определим компоненты деформации (3.4) –(3.6)

                                                      (3.31)

                                                       (3.32)

                                                   (3.33)

Плоская деформация. В  этом случае равна нулю только одна главная деформация , например, e3 = 0. На рис. 3.7. (Пример плоской деформации) длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения s1и s2.

(3.1) - (3.3) в этом случае становятся:  s1 = (l + 2G)e1 + le2.

 

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями