Упругая твёрдая среда называется линейной и изотропной в том случае, если напряжения в ней линейно связаны с деформациями, а механические свойства среды не зависят от направления.
В такой среде главные оси напряжений и деформаций совпадают. Связь между напряжениями и деформациями удобно записать в системе координат, связанной с главными осями:
s1=(l+2G)e1 + l e2+ le3, (3.1)
s2= le1+ (l+2G )e2 + le3, (3.2)
s3= le1+ le2 + (l+2G )e3 (3.3)
где упругие модули l и G (модуль сдвига) называются параметрами Ламе.
Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации e возникает напряжение (l+2G)e в том же направлении и напряжения le в других взаимно перпендикулярных направлениях:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
где Е (модуль Юнга, меняется для горных пород в пределах 10 – 100 ГПа) и n (коэффициент Пуассона, меняется в пределах 0.1 – 0.4)- материальные параметры среды.
Главная компонента напряжения s создаёт деформацию s/E в направлении своего действия и деформации -ns/E в двух других взаимно перпендикулярных направлениях.
Упругие свойства среды характеризуют, задавая l и G или E и n. Эти параметры не являются независимыми.
Одноосное напряжённое состояние. В этом случае отлично от нуля только одно главное напряжение, например, s1. s2 = s3 = 0 , тогда
(3.7)
Отсюда видно, что напряжение s1 вызывает не только деформацию e1 в направлении своего действия, но и деформации в перпендикулярных направлениях e2 и e3.
Если s1 - напряжение сжатия, то e1 - укорочение, а e2 и e3 - удлинения.
Эти деформации показаны на рис. 3.2, (Рис.3.2. Деформация под действием одноосного сжатия), где элементdxdydz стал короче в направлении оси n, но толще в направлении осей х и z.
В соответствии с равенствами (3.4)- (3.6) мы можем написать:
(3.8)
Сравнивая это равенство с (3.7), получаем:
(3.9)
Из (3.1) и (3.7) находим
, (3.10)
совместно с (3.8) для модуля Юнга получаем:
(3.11)
С помощью (3.9) (3.11) выражаем l и G через E и n:
(3.12)
(3.13)
В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение (3.8) превращается в закон Гука:
s1 = E e1 (3.14)
Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.
Относительное изменение объёма (дилатация D) определяется в этом случае выражением:
D = e + e2 + e3 = e1(1 - 2n) (3.15)
Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях.
Из выражения (3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения.
Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии n должно быть равно ½. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.
Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, e1.Тогда (3.1)- (3.3.) дают
s1= (l + 2G)e1 (3.19)
(3.20)
а (3.4)-(3.6) упрощаются следующим образом:
(3.21)
(3.22)
Плоское напряжённое состояние. Возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, s3 = 0,s2 ¹ 0,s 1¹ 0. (Рис.3.5. Плоское напряжённое состояние). Тонкая пластина нагружена с боков. Определим компоненты деформации (3.4) –(3.6)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация , например, e3 = 0. На рис. 3.7. (Пример плоской деформации) длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения s1и s2.
(3.1) - (3.3) в этом случае становятся: s1 = (l + 2G)e1 + le2.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему