Уравнение неразрывности - Лекции - Введение в аэрогидромеханику и гидравлику

          Вывод основных гидродинамических уравнений начнём с вывода уравнения неразрывности, выражающего закон сохранения в гидродинамике.

          Математическое описание состояния движущейся жидкости осуществляется с помощью функций, определяющих распределение скоростей  и каких-либо двух термодинамических величин, например,    - давления и -  плотности.

          Скорость, давление и плотность жидкости будем относить к данным точкам пространства,  а не к определённым частицам жидкости, передвигающимся во времени и в пространстве. То есть будем пользоваться переменными Эйлера.

          Вектор  по абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по внешней нормали к ней. Тогда  положительно, если жидкость вытекает из объёма, и отрицательно, если жидкость втекает в него.

          Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из объёма Vo

 .

          где S - поверхность, ограничивающая выделенный объём Vo.

          С другой стороны, уменьшение количества жидкости в объёме Vo можно записать в виде

.

          Приравнивая оба выражения, получаем:

.

          Интеграл по поверхности преобразуем в интеграл по объёму

.

Таким образом,

 .

          Поскольку это равенство должно иметь место для любого выделенного объёма, то должно быть равным нулю подынтегральное выражение, т.е.

.

Получили уравнение неразрывности.

          Расписав выражение  можно записать

          В декартовых координатах

.

          Вектор     называют плотностью потока жидкости.

          Его направление совпадает с направлением движения жидкости, а абсолютная величина определяет количество жидкости, протекающей в единице времени через единицу площади, расположенной перпендикулярно к скорости.