Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости - Основы гидравлики

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием только одной массовой силы – силы тяжести. Возьмем одну из элементарных струек потока и выделим сечениями 1 и 2 участок струйки произвольной длины. Пусть площади сечений равны dS1 и dS2, скорости в них V1 и V2, давления – p1 и p2, а высоты от произвольного уровня z1 и z2.

Рис. 18. Схема для вывода

уравнения Бернулли

За бесконечно малый отрезок времени dt участок струйки сместится в положение 1’ – 2’.

Из механики известно, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии тела.  В данном случае к участку струйки приложены поверхностные силы давления и массовая сила – сила тяжести.

Работа сил давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, во втором – отрицательная, а на боковой поверхности струйки равна нулю (вектора силы и скорости перпендикулярны).

Работа сил давления в первом сечении положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, во втором – отрицательная, а на боковой поверхности струйки равна нулю (вектора силы и скорости перпендикулярны).

Работа равна произведению силы на перемещение вдоль направления силы. Тогда работа сил давления будет равна

p1 dS1 V1 dt – p2 dS2 V2 dt.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости в объеме 1 – 2 вычесть энергию положения в объеме 1’ – 2’. При этом энергия положения объема 1’ – 2 остается неизменной, и останется лишь разность энергий элементов 1 – 1’ и  2 – 2’. Учитывая уравнение расхода, просто заметить, что вес обоих элементов одинаков

dG = gr V1 dt dS1= gr V2 dt dS2.

Тогда работа силы тяжести:              dG(z1 – z2).

При вычислении приращения кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема 1’ – 2’ вычесть кинетическую энергию объема 1 – 2. Получится разность кинетических энергий объемов 2 – 2’ и 1 – 1’. Таким образом, приращение кинетической энергии участка струйки равно

Из полученных выражений составим уравнение:

p1 dS1 v1 dt – p2 dS2 v2 dt+ dG(z1 – z2) =

Разделим его на dG

Перегруппировав слагаемые, получим уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости:

где z – геометрический напор (высота);

       – пьезометрический напор (высота);

        – скоростной напор (высота).

Так как сечения струйки взяты произвольным образом, то сумма этих трех напоров (H – полный напор) есть величина постоянная вдоль струйки:

H = = const.

Уравнение Бернулли можно переписать через удельные энергии. Для этого домножим его на g:

где gz – удельная энергия положения;

       – удельная энергия давления движущейся жидкости;

       – удельная кинетическая энергия.

Мы видим, что последнее уравнение – это уравнение закона сохранения механической энергии.

Если это уравнение домножить еще и на r, то получим уравнение Бернулли, записанное через давления:

где  – весовое давление;

       – гидромеханическое давление;

       – динамическое давление.

Проиллюстрируем уравнение Бернулли графиком (Рис. 19), на котором показано изменение всех трех напоров вдоль элементарной струйки. Линия изменения пьезометрических напоров называется пьезометрической линией. Ее можно рассматривать как геометрическое место уровней в пьезометрах, установленных вдоль струйки.

Из графика хорошо видно, что изменение площади живого сечения струйки приводит к заметному изменению скоростного напора. При уменьшении диаметра живого сечения в 2 раза скорость возрастает также в 2 раза, а скоростной напор – в 4 раза. При горизонтальном расположении струйки это изменение происходит за счет изменения пьезометрического напора. При резком сужении элементарной струйки пьезометрический напор, а значит и давление, могут упасть настолько, что последнее станет меньше атмосферного, то есть возникнет разрежение.

Рис. 19. Изменение напоров вдоль струйки идеальной жидкости

На первый взгляд, согласно уравнения Бернулли, при очень сильном сужении струйки абсолютное давление может стать и вовсе отрицательным, что в принципе невозможно. Дело в том, что при снижении давления в струйке до давления насыщенных паров жидкость начнет резко испаряться, и давление останется положительным. Но в этом случае пользоваться уравнением Бернулли уже нельзя, так как при его выводе использовалось уравнение расхода, которое справедливо только при условии, что не нарушается сплошность среды.