Функции случайных величин

Функция с.в. будет также случайной величиной Y=j(X). Ее распределение соответствует распределению аргумента, но с измененной шкалой абсцисс. P(y)=Prob(Y<y)=Prob(j(X)<y).

                                               (36.3)=(17.3),

где  y(y) - функция обратная j(х) (замена подинтегрального выражения x=y(y), dx=y¢(y)dy).

Если Y=j(X), где j(X) - монотонная функция своего аргумента, то распределение Y определяется тем, что вероятность нахождения y в пределах y1<Y<y2 равна вероятности неравенства х1<X<x2,

где y1=j(x1) и y2=j(x2).

М.о. и дисперсия с.в. Y:

           (37.3)=(20.3) и (22.3).

Доказательство (37.3):

Для линейной функции Y=aX+b из (37.3) и (18.3) следует

 и D(Y)=a2D(X)             (38.3).

Доказательство (38): .

Для функции Z=j(X,Y) двух случайных аргументов м.о. и дисперсия                   (39.3).

Если Z=j(X,Y)=X+Y и X и Y - независимы, то м.о. и дисперсия суммы независимых с.в. величин D(Z)=D(X)+D(Y).

Плотность распределения непрерывной с.в. Y, связанной монотонной функциональной зависимостью Y=j(X) с непрерывной с.в. Х:

 или                                        (40.3),

где x=y(y) - функция обратная y=j(x).

Для линейной функции y=ax+b из (40) следует

p(y)=(1/a)p(x)                                                                    (40¢.3).

Если Y=j(X/R) и p(x/r) - условная плотность вероятности с.в. Х, входящей в систему (X,R), то условная плотность вероятности с.в. Y - ,

где y(y/r) - функция обратная Y=j(X/R), а безусловная плотность вероятности с.в. Y:

,

где p(r) - плотность вероятности с.в. R.

Если имеются функции с.в. U=U(X,Y) и V=V(X,Y), то, зная совместную плотность распределения p(x,y), совместная плотность распределения U и V:

                             (41.3)

(в скобках - Якобиан ).

Матожидания:                                       (42.3),

дисперсия           ,

корреляционный момент            .

В случае линейного преобразования U=a1X+b1Y+c1 и V=a2X+b2Y+c2  по (41.3) и (42.3) имеем:

                                                          (43.3),

 и                                          (44.3).

Дисперсия

Доказательство (44)

Запишем еще раз дисперсии и корреляционные моменты:

,          ,  (доказать самостоятельно).

Зная плотность распределения p(U,V), где U=U(X,Y) и V=V(X,Y), можно определить плотность распределения p(U) или p(V): .

Пример (стр.23 ). Стержень нагружен изгибающим моментом Mb и крутящим моментом Mt, и есть их совместная плотность вероятности pq(Mb,Mt). Кроме того, моменты Mb и Mt стохастически независимы и подчиняются центрированному нормальному распределению:

,

где sb и st – стандарты Mb и Mt.

Опасное состояние стержня достигается при превышении некоторой функцией этих моментов предельного значения Mr>Mr,lim, зависящего от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде , где Mr – приведенный момент, определенный в соответствии с критерием текучести, основанном на наибольших касательных напряжениях.

Касательное напряжение от крутящего момента , где Ir - полярный момент круглого сечения, y – радиус окружности, содержащей рассматриваемую точку, t = tmax при y=r (r – радиус стержня). Нормальное напряжение от изгибающего момента . Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятности pu(Mr) приведенного момента Mr.

Перейдем к полярным координатам, положив , где 0£q£2p. Согласно (41.3) совместная плотность распределения с. в. Mr и q:

.

Используя  и замечая, что якобиан преобразования ,

найдем

Плотность распределения вероятности pu(Mr) определяется интегрированием полученной формулы по углу q: . Используя формулу анализа , где  - функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно             .

Если дисперсии моментов Mb и Mt одинаковы, т.е. sb=st=s, то I0(0)=1 и . При этом приведенный момент подчиняется распределению Рэлея.