Термоэлектрические явления. - Лекции по электричеству и магнетизму

Испарение электронов с поверхности металлов называется термоэлектронной эмиссией.

          Рассмотрим причины и условия этого явления. Электроны в металле и снаружи рассмотрим как два состояния электронного газа, находящегося в равновесии при определенных условиях. Потенциальная энергия электронов в металле меньше, чем снаружи. Зависимость потенциальной энергии электронов в металле  от координаты , начало которой отсчитывается от поверхности металла, представлена в виде графика на рис.5.20. Известно, что все уровни энергии до  (энергии Ферми) заняты. Следовательно, чтобы удалить из металла электроны, имеющие энергию, близкую , необходимо затратить какую-то энергию , где - работа выхода электрона из металла. ; , т.е. .

          Вне металла имеет место функция распределения:

,          (5.31)

где  - кинетическая энергия электрона. Это следует из (5.23) при :

.                       (5.32)

Так как  и , то . Из (5.31) видно, что вне металла осуществляется распределение электронов по энергиям не по статистике Ферми-Дирака, а по Больцману. Этого следовало ожидать, т.к. из металла могут вылетать лишь электроны в “хвосте” , где зависимость такая же, как в статистике Больцмана (см.рис.5.9).

          Нужно подсчитать число электронов , вылетающих из единицы объема металла при данной температуре в вакуум. Для этого необходимо знать число электронов по статистике Больцмана в интервале импульсов от  от  и проинтегрировать от 0 до  это значение. При этом  изменяется непрерывно. В фазовом пространстве электроны, имеющие импульс, величина которого лежит в промежутке от  от , должны занимать объем в шаровом слое радиуса  шириной : . Объем одной элементарной ячейки для электрона в - пространстве:  (следствие принципа неопределенностей). Тогда число электронов в интервале  с учетом функции распределения (5.31):

.  (5.33)

Тогда:

.                         (5.34)

Как и ранее (§ 5.3), множитель “2” появляется вследствие учета того факта, что в каждой элементарной ячейке могут находиться два электрона с противоположной ориентацией спина. Из (5.34) следует, что:

.                        (5.35)

Сведем интеграл к интегралу Пуассона введением следующей замены: . Тогда . Принимая во внимание, что , получаем:

                             (5.36)

или

,

т.е. концентрация электронов, испарившихся с поверхности металла, растет с увеличением температуры.

          Вычислим ток эмиссии: .  Нужно учесть, что скорость также зависит от температуры:

;           .

          Тогда ток эмиссии:

                  -                  (5.37)

Это формула Ричардсона (1903 г.) – Дешмана (1923 г.). Оба отмечены Нобелевской премией в 1928 г. Влияние экспоненциальной зависимости от температуры иллюстрируют следующие величины тока для  W:

          для W:       при 1000 К ;

                   при 2000 К ;

                   при 3000 К .

При малых температурах играет роль степенная зависимость, а при больших явно видна роль экспоненты.  Нужно обратить влияние, что приведенные величины  - это ток насыщения вакуумного диода, катод которого, сделанный из вольфрама, нагрет до соответствующей температуры.