Нужна помощь в написании работы?

Волновое уравнение.

Запишем уравнения Максвелла (7.11-7.15) для вакуума при :

;         (7.24)                            ;              (7.26)

;        (7.25)                            .             (7.27)

Материальные уравнения:

.                                (7.28)

Учтем, что:

.                                       (7.29)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Оставим в уравнениях (7.24-7.27) лишь векторы  и :

;                                                  ;

;                                             .

Введя оператор “набла” , запишем последние четыре уравнения в виде:

;          (7.30)                            ;                (7.32)

          (7.31)                                             (7.33)

Задача состоит в нахождении решений этих дифференциальных уравнений, т.е. нахождении векторов поля  и .

          Применим  векторно к (7.30) еще раз:

,                            (7.34)

так как , то:

.                            (7.35)

Используя известную из математики связь оператора Лапласа и оператора “набла”: , перепишем последнее уравнение в виде:

.                                        (7.36)

Аналогично можно получить:

.                                        (7.37)

Уравнения (7.36), (7.37) называются волновыми. Ясно, что точно такие же уравнения можно записать для векторов  и . Зная, что:

,                               (7.38)

,                                 (7.39)

видим, что волновые уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Рассмотрим для простоты случай, когда  и  являются функциями лишь одной пространственной координаты, например, . Тогда (7.36):

.                                 (7.40)

Плоская волна.

Решением уравнения (7.40) в общем виде является функция

.                             (7.41)

Это волна, распространяющаяся вдоль оси  в положительном или отрицательном направлении. Кривая на рис.7.11, описываемая функцией (7.41), из положения 1 спустя время  передвинется целиком на  и окажется в положении 2. Так как в любой произвольный момент времени значения  постоянны в плоскости, перпендикулярной , такая волна называется плоской.

Докажем для общей функции , что она представляет собой волну. Для этого необходимо показать, что при :

.

, тогда .

Итак, аргумент  отвечает волне, движущейся вдоль оси . Точно так же можно доказать, что с аргументом  записана волна, движущаяся против .

          Самым простым решением волнового уравнения является монохроматическая плоская волна:

,                             (7.42)

где  - фаза волны, ‑ волновой вектор (указывает направление распространения волны), ‑ радиус-вектор, проводится в точку, в которой производится наблюдение,  - частота.

          Волна называется монохрома-тической, если векторы  и  этой волны изменяются со временем по гармоническому закону с постоянной частотой.

Фазовая скорость – скорость движения поверхности постоянной фазы (см.рис.7.12)- отвечает условию:

=const

(на рис. - это плоскость, перпендикулярная оси , на которой значения  постоянны, т.е. постоянна фаза волны). Тогда скорость движения этой плоскости вдоль  может быть найдена так:

         Þ     .

Запишем плоскую волну в комплексной форме:

                      (7.43)

Подставив (7.43) в уравнения Максвелла, можно получить:

;                         (7.30)

;            (7.31)

.                                     (7.33).

.                                     (7.32).

Итак:

;  (7.44)                                      ;       (7.46)

;   (7.45)                                      .       (7.47)

Отсюда следует взаимная ориентация векторов  (рис.7.13):  ортогональны и образуют вместе с  правую тройку векторов. Так как  колеблются перпендикулярно , что было показано в общем виде уравнениями (7.46) и (7.47), то полученная электромагнитная волна поперечна. Видно также, что волны  синфазны.

Из (7.44): , тогда:

.                                                      

Полученная плоская электромагнитная волна приведена на рис.7.13. Итак,

решением уравнений Максвелла в вакууме является плоская монохроматическая электромагнитная волна:

.                      (7.48)

В электромагнитной волне векторы  ортогональны и модули их связаны соотношением: .

Электромагнитная волна поперечна и векторы  колеблются синфазно.

Определим вектор Умова-Пойнтинга:

,                         (7.49)

так как . Из (7.49) следует, что вектор  направлен так же, как  и . Подставим в (7.49) значения  (7.42):

   Þ       (7.50)

Видно из (7.50), что волна переносит энергию, т.е. она является бегущей. Скорость переноса энергии волны в вакууме равна фазовой скорости волны.

Фазовая скорость света в свободном пространстве.

Будем считать, что в свободном пространстве заряды и токи отсутствуют: r=0,  j=0.

          Материальные уравнения запишем в виде:

.                            (7.51)

Уравнение (7.44) изменится, если его записать для .

;           ;           .          Тогда:

.                                              (7.52)

Тогда волновые уравнения запишутся в виде:

            .                              (7.53)

Решения волновых уравнений, по-прежнему, функции (7.48). Как и ранее, из условия =const   находим      - фазовую скорость.

Подставим решение (7.48) в волновое уравнение (7.53):

.                                            (7.54)

Отсюда находим фазовую скорость:  и:

.                                           (7.55)

Обозначим  - показатель преломления среды. Тогда фазовая скорость в свободном пространстве:

.                                             (7.55)

Для , , . Подставив векторы  как функции времени и координат в (7.52), получаем связь между их модулями: .

          Определим вектор Умова-Пойнтинга:

,              .

            Þ     .            (7.56)

Назовем величину среднего по периоду значения вектора  интенсивностью. Тогда:  - интенсивность электромагнитного излучения в свободном пространстве.

Сферическая волна.

Рассмотрим решение уравнений Максвелла в сферически симметричном случае. Все сводится к волновому уравнению в сферической системе координат (рис.7.14), для которой оператор Лапласа имеет вид:

  (7.57)

Так как решение не зависит от угловых переменных (волна изотропна), то от (7.57) остается лишь первое слагаемое: .

.         (7.57)

.

Тогда (7.36) запишется в виде:

.  (7.58)

Решение уравнения (7.58) такое же, как и в предыдущем случае:

                               (7.59)

Так как  и  сонаправлены, то .

          Данная волна называется сферической, поскольку поверхность, на которой в любой момент времени , является сферой.

          Функция (7.59) от аргумента  представляет расходящуюся от начала координат волну, а от аргумента  - сходящуюся.

          Для больших расстояний  отдельные участки сферической поверхности можно рассматривать как плоскости. Если линейный размер участка велик по сравнению с длиной волны, волну можно считать плоской.

Стоячие волны.

          Стоячая волна – это результат наложения двух бегущих волн одинаковой частоты и амплитуды, находящихся в противофазе:

                                   (7.60)

.        (7.61)

Из сравнения (7.60) и (7.61) видно, что  и ‑волны, бегущие навстречу.

          Рассмотрим структуру электромагнитного поля стоячей волны. Выберем ось  вдоль направления распространения бегущей волны. Запишем компоненты  и  таким образом:

.       (7.62)

(7.62) - это волна, распространяющаяся вдоль оси .

.     (7.63)

(7.63) - это волна, распространяющаяся навстречу первой (рис.7.15). На рис. учтено, что векторы  в каждой из волн образуют правую тройку векторов, при этом:

.

Найдем результирующее электромагнитное поле:

.

С использованием формул Эйлера получаем:

                (7.64)

или в вещественном виде:

.                (7.65)

Графически зависимость (7.65) представлена на рис.7.16. Видно, что амплитуды колебаний  и  изменяются в зависимости от Z от  и  до нуля. Вектор в каждой точке  совершает колебания с частотой . В плоскости с координатой  возникают пучности ( принимает значения от  до -); в координате  образуются узлы и  обращается в нуль. Колебания по разные стороны узла происходят в противофазе.


Колебания вектора  отстают от  на четверть периода: при , т.е.  во всем пространстве равно нулю, а  распределено по оси  по указанному закону. Спустя интервал времени  напряженность электрического поля уменьшается до , а  увеличивается, достигая значения . При   равно нулю во всем пространстве, а  (рис.7.17).

Вектор Умова Пойнтинга обращается в нуль как в узлах электрического, так и в узлах магнитного поля.

   Þ      для стоячей волны.

Для бегущей волны: .

Отсюда ясны названия волн: бегущая волна переносит энергию; а стоячая‑ нет: движение энергии ограничено узлами электрического и магнитного полей.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями