Нужна помощь в написании работы?

Запишем полную систему уравнений Максвелла:

     (1)

                    (2)

                  (3)

                       (4)

Решим её. Введём потенциал. Помним, что .  – задаётся с точностью  до grad некоторой скалярной функции, т.е. . В выражение   подставим .

.

Из уравнении (4) следует что . Подставим его в уравнение (3)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

, следовательно

 , а это имеет место, когда , так как rotgradχ=0

Следует:

Тогда выражение для полей через потенциалы принимает вид

 

   

Но так как потенциал  задаётся не однозначно с точность до градиента:

 с одной стороны эта неоднозначность не должна сказываться на напряжённости поля , то также неоднозначно должен задаваться скалярный потенциал .

Потребуем, что . Это следует из того, что

А если мы проведём преобразования такого рода:

 и - система (III),

то выражения для  и  не изменятся. Эти преобразования носят название калибровки (лежат в теории всех полей). Проведём калибровку: . Всегда можно выбрать так, что . А также потребуем, чтобы:  (7),  тогда .

Схематично мы написали уравнения Максвелла. Теперь можно перейти к потенциалам. Это можно сделать из системы

1. и 2. . Причём  и  удовлетворяют преобразованиям калибровки. Подставляя систему (II) в (I) и требуя выполнение (7), справедливость которого следует из преобразования калибровки (III), мы получаем:  и по аналогии найдём другое уравнение -   .

Затем (II) подставляем в (I(1)) и учитывая (из калибровки), получаем систему (IV):    и   .

Таким образом, мы заменили систему (I) на эквивалентные системы (II) и (IV). Это тоже уравнения Максвелла, но в другом виде.

В общем виде запишем сразу решение.

а) Положим, что  (т.е случай стационарный), тогда , его решение, тогда, имеет вид: .

б)  (вакуум), . Здесь . ,   где . Потенциал в точке наблюдения определяется расстоянием до этой точки и моментом не t, а , причём . Здесь  - это время движения сигнала.

Из уравнений Максвелла следует:

1.     Существование электромагнитных волн;

2.     ;

3.     Распространение заряда (не сразу там окажется, а через время).

Поделись с друзьями