Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела двух диэлектрических сред. Формулы Френеля.

         Полагаем, что однородная изотропная среда граничит с вакуумом. Падающая на нее плоская электромагнитная волна возбудит в среде дипольную волну, которую можно рассматривать как волну поляризаций.

         Пусть луч L, падающий на границу раздела двух сред содержит вектор  перпендикулярно плоскости падения (рис. 2). Компоненты электрического поля по х, z равны нулю и следовательно Еу=Е; ЕуR=ЕR; ЕуD=ЕD (11). EA, ED – отраженные и преломленные составляющие. Для магнитной составляющей электромагнитной волны из рис. 2 будем иметь

                                              Hx=-Hcosα;            Hz=Hsinα

                                              HxR=HRcosα;          HzR=HRsinα                             (12)

                                              HxD=-HDcosβ;        HzD=HDsinβ

Из граничных условий имеем для тангенциальных составляющих Et1=Et2; Ht1=Ht2. Ими являются компоненты по х и у. Таким образом,

E+ER=ED;      (H-HR)cosα=HDcosβ.                    (13)                    

Из электромагнитной теории имеем . Для оптического диапазона μ=1;  – абсолютный показатель преломления. Следовательно

n1(E-ER)cosα=n2EDcosβ                             (14)                   

Используя соотношения закона преломления , получим

                     (15)            

Теперь все величины снабдим индексом ^ для выбранного направления колебания. Заменим в (15) ED=E-ER, тогда, преобразовав его, получим

 (16) – коэффициент отражения по амплитуде. По интенсивности

                                 (17)

Напряженность отраженной волны

                                          (18)

Подставляя значения E^R в E+ER=ED, получим амплитуду прошедшей волны

                                        (19)

Коэффициент пропускания Т можно определить из условия R^+T^=1, T^=1- R^.

Подставляя значения R^, получим

                                              (20)

Для волны, у которой вектор  лежит в плоскости падения, имеем

Ex=-Ecosα;           Ez=Esinα;             Hy=H

ExR =-ERcosα;       EzR=ERsinα;          HyR=HR                                                    (21)

ExD =-EDcosβ;      EzD=EDsinβ;                   HyD=HD

Амплитуды и коэффициенты будут иметь следующие выражения

;       

;                     (22)

Формулы для коэффициентов отражения и пропускания называют формулами Френеля.

Остановимся на световых волнах, у которых имеются и Е^ и Е||, т.е. свет неполяризованный. Интенсивность для этих волн I=I^+I|| (23) и . В этом случае, учитывая, что I=2I^=2I|| имеем

                                   (24)

или, подставляя R^ и R||, получим

                               (25)

Если , то tg(α+β) = ∞,    R||=0.

В этом случае компонент электрического поля с Е||  не испытывает отражения и отраженный свет будет иметь только составляющую Е^.

         Угол aБ, при котором получается это явление, называется углом Брюстера, или углом полной поляризации. Так как cos(aБ+β)=0, , то , cosaБ=sinβ, sinaБ=nsinβ.  Oткуда имеем

tgaБ=n                                                      (26)

Если a®0, то в выражениях для R^ и R|| синусы и тангенсы можно заменить аргументами и

                                    (27)