Дифракционная решетка - Шпаргалки к экзамену по оптике

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей (рис. 3.3.24).

Расстояние  между серединами соседних щелей называется периодом решетки.

Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран.

Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать, что волна падает на решетку нормально).

Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 3.3.20.  Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точку  от различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от  щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в  раз. Однако,  колебания от различных щелей являются в большей или меньшей степени когерентными; поэтому результирующая интенсивность будет отлична от  ( - интенсивность, создаваемая одной щелью).

В дальнейшем мы будем предполагать, что радиус когерентности падающей волны намного превышает длину решетки, так что колебания от всех щелей можно считать когерентными друг относительно друга. В этом случае результирующее колебание в точке , положение которой определяется углом , представляет собой сумму  колебаний с одинаковой амплитудой , сдвинутых друг относительно друга по фазе на одну и ту же величину .

Согласно формуле (3.3.5) интенсивность при этих условиях равна

                                 (3.3.8)

(в данном случае роль  играет ).

Из рис.3.3.24 видно, что разность хода от соседних щелей равна

.

Следовательно, разность фаз

,                               (3.3.9)

где  - длина волны в данной среде.

Подставив в формулу (3.3.8) выражение (3.3.5) для  и (3.3.9) для , получим

                (3.3.10)

( - интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).

Первый множитель в (3.3.10) обращается в нуль в точках, для которых

 .                            (3.3.11)

В этих точках интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, равна нулю (см. условие (3.3.4)).

Второй множитель в (3.3.10) принимает значение  в точках, удовлетворяющих условию

                           (3.3.12)

Для направлений, определяемых этим условием, колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

                                     (3.3.13)

( - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом ).

Условие (3.3.12) определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными.

Число  дает порядок главного максимума.

Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1-го, 2-го и т. д. порядков имеется по два.

Возведя равенство (3.3.13) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов  в  раз больше интенсивности , создаваемой в направлении  одной щелью: .

Кроме минимумов, определяемых условием (3.3.11), в промежутках между соседними главными максимумами имеется  добавочных минимумов. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга.

Направления добавочных минимумов определяются условием

 .                                                   (3.3.14)

.

В формуле (3.3.14)  принимает все целочисленные значения, кроме , т. е. кроме тех, при которых условие (3.3.14) переходит в (3.3.12).

Условие (3.3.14) легко получить методом графического сложения колебаний. Колебания от отдельных щелей изображаются векторами одинаковой длины. Согласно (3.3.14) каждый из последующих векторов повернут относительно предыдущего на один и тот же угол .

Поэтому в тех случаях, когда  не является целым кратным , мы, пристраивая начало следующего вектора к концу предыдущего, получим замкнутую ломаную линию, которая делает  (при ) или  (при ) оборотов прежде чем конец -го вектора упрется в начало 1-го. Соответственно результирующая амплитуда оказывается равной нулю. Сказанное пояснено на рис. 3.3.25, на котором показана сумма векторов для случая  и значений , равных  и .

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы.

Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно . Ранее было показано, что интенсивность вторичных максимумов не превышает  интенсивности ближайшего главного максимума.

На рис. 3.3.26 приведен график функции (3.3.10) для  и . Пунктирная кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на  .

 При взятом на рисунке отношении периода решетки к ширине щели  главные максимумы 3-го, 6-го и т. д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (3.3.11) и (3.3.12) вытекает, что главный максимум -го порядка придется на -й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство: , или . Это возможно, если  равно отношению двух целых чисел  и  (практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный максимум -го порядка наложится на -й минимум от одной щели, максимум -го порядка - на -й минимум и т. д., в результате чего максимумы порядков  и т. д. будут отсутствовать.

Положение дополнительных минимумов, ближайших к главному максимуму -го порядка, определяется условием: .

Произведение  дает длину дифракционной решетки. Следовательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна длине решетки. С увеличением порядка максимума  ширина  возрастает.

В дифракционном спектре положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, красный - наружу.

Таким образом, дифракционная решетка представляет собой спектральный прибор. Стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решетка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи.

Основными характеристиками всякого спектрального прибора являются его дисперсия и разрешающая сила.

• Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на единицу (например, на ).
• Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн , при которой две линии воспринимаются в спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина

,

где  - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решетки, продифференцируем условие (3.3.12) главного максимума слева по , а справа по .

Опуская знак минус, получим

.

Отсюда

.

В пределах небольших углов , поэтому можно положить

                                                                (3.3.15)

-  угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решетки . Чем выше порядок спектра , тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину

,

где  - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

 Из рис. 3.3.27 видно, что при небольших значениях угла  можно положить , где - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линейная дисперсия связана с угловой дисперсией  соотношением

.

Приняв во внимание выражение (3.3.15), получим для линейной дисперсии дифракционной решетки (при небольших ) следующую формулу:

.

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

,

где  - минимальная разность длин волн двух спектральных линий, при которой эти линии воспринимаются раздельно.

Найдем разрешающую силу дифракционной решетки. Положение середины -го максимума для длины волны  определяется условием

.

Края -го максимума для длины волны  расположены под углами, удовлетворяющими соотношению

.

Середина максимума для длины волны  совпадет с краем максимума для длины волны  в том случае, если

.

Отсюда

.

Решив это соотношение относительно , получим выражение для разрешающей силы

.

Таким образом, разрешающая сила дифракционной решетки пропорциональна порядку спектра  и числу щелей .

Дифракционные решетки бывают прозрачные и отражательные.

• Прозрачные решетки изготавливаются из стеклянных или кварцевых пластинок, на поверхность которых с помощью специальной машины наносится алмазным резцом ряд параллельных штрихов. Промежутки между, штрихами служат щелями.

Отражательные решетки наносятся алмазным резцом на поверхность металлического зеркала. Свет падает на отражательную решетку наклонно. При этом решетка с периодом  действует так, как при нормальном падении света действовала бы прозрачная решетка с периодом , где  - угол падения. Это позволяет наблюдать спектр при отражении света, например, от грампластинки, имеющей всего несколько штрихов (канавок) на 1 мм, если расположить ее так, чтобы угол падения был близок к . Роуланд изобрел вогнутую отражательную решетку, которая сама