Дифракционная решетка - Курс лекций по оптике

Решетка имеет N щелей и       расстояние d=a+b называется периодом решетки.

Световой эффект от дифракции на решетке можно найти сложив действие всех N щелей. Для этого удобно использовать комплексную форму световых волн. В этом случае это будет ряд, представляющий геометрическую прогрессию

                            (15)

Здесь d разность фаз определяемая разностью хода , а Δ=dsinφ. Дробь можно представить в виде , где  – есть мнимая часть. Учитывая, что  и введя обозначение  и , выражение для действительной части колебаний запишется в виде  (16) Выражение для интенсивности будет

                                            (17)

Множитель  определяет действие одной щели, а множитель  определяет взаимодействие N щелей.

Условие главных максимумов dsinφ=mλ (18) дает для , следовательно  и максимальная амплитуда будет NЕ0j. Амплитуда главных максимумов модулируется множителем (sina/a). Максимальное значение этого множителя равно 1 и достигается при a=0, т.е. j=0, соответствующее центральному максимуму. Минимумы достигаются когда в результате сложения комплексных амплитуд, получается результирующая нулевая амплитуда. Для различных d (т.е. при различных j) ломаная кривая при векторном сложении может быть замкнута много раз, это удовлетворяется при разности фаз волн от крайних щелей равной 2p, 4p… . Поэтому условие минимумов в дифракционной картине запишется в виде Nδ=2πm (m=0, 1, 2,…) учитывая  (19), имеем dsinφ=(m/N)λ; m¹0, N, 2N… В виду того, что в решетке ширина щели a обычно мала, то центральный максимум довольно широк, так что  на его протяжении укладывается несколько главных максимумов решетки (Рис. 4). Если решетка включает периодические изменения в амплитуду волны, не влияя на нее сразу, то ее называют амплитудной. Если же решетка вносит периодические изменения в фазу волны, но не влияет на ее амплитуду, то ее называют фазовой. Амплитудной решеткой служить решетка, представляющая собой совокупность равностоящих щелей в непрозрачном экране. Приближением фазовой решетки может служить стеклянная пластинка с периодически изменяющейся толщиной (рис. 5), отражательной фазовой решеткой может служить призма с преломляющим углом 900 на гипотенузной стороне которой напылены равностоящие полоски серебра параллельно преломляющему ребру. Свет отражается от посеребренных и непосеребренных полосок, при этом фаза волны изменяется по-разному. Амплитуда волны при отражении не меняется.

Трехмерные, пространственные решетки обладают периодичностью в трех различных направлениях. Обозначим периоды d1, d2, d3. Найдем условие образования дифракционных максимумов. В качестве таких решеток являются кристаллические. Сначала рассмотрим действие отдельной цепочки с периодом d1 (рис. 6). Угол падения

a0, δ0=2πΔ0/λ,      Δ0=d1cosα0,                  Δ=d1cosα                    (20)

Усиление будет при

d1(cosα-cosα0)= ±mλ                                (21)                                

Каждому значению m соответствует свой конус. Условие для другого направления с периодом d2 будет аналогично

d2(cosβ-cosβ0)= ±mλ                                  (22)                                       

и для d3

d3(cosγ-cosγ0)= ±mλ

Эти условия называются формулами Лауэ. Наибольшее значение модуля разности косинусов равно 2. поэтому эти условия могут быть выполняемы при отличном от нуля значениях индекса m лишь в том случае, если l не превышает 2d. В случае прямоугольной системы координат углы a, b, g связаны друг с другом следующим образом

cos2α+ cos2β+ cos2γ=1                                       (23)

Система уравнений (21, 22, 23) будет разрешимой лишь для некоторых определенных длин волн. Каждому такому значению l соответствует только один максимум. Русский ученый Вульф и английские физики Брэгги показали, что расчет дифракционной картины от кристаллической решетки можно осуществить простым способом.

Рассмотрим дифракцию рентгеновских лучей на кристаллической решетке (рис. 7). a – угол скольжения луча с атомной плоскостью. Разность хода между двумя лучами при отражении будет

CB=BD=dsinα,                           (24)

общая разность хода Δ=2dsinα, а условие максимума

  2dsinα=кλ       (25)                                

Эта формула называется формулой Вульфа-Брегга.