Энергия и импульс

Запишем дифференциальный инвариант (F14) в виде

или при ds2>0 

где введены обозначения v = d r/dt и r 0 = r-vt.
Определим четырехвектор

который преобразуется по обычным преобразованиям Лоренца.
Используя выражения (F30) и (F31) можно построить четырехвектор скорости:

и четырехвектор энергии-импульса

Будем считать входящие в (F33) выражения энергией

и импульсом

частицы с массой m.
При проведении преобразования Лоренца-Фока вектор энергии-импульса (F33 ) преобразуется по преобразованиям Лоренца.
Минимальные значения энергии E0 = m и импульса p0 = 0 достигаются не на множестве систем поко (v = 0), связанных трансляциями, а на множестве «хаббловских» систем отсчета, в которых v = r0.
Заметим, что поправки к формулам нерелятивистской динамики (|v|c) становятся заметными только на больших расстояниях при H 0|r0 |>> |v|. Для скорости в 1 м/с это расстояние составит 30 св. лет. Поправки к формулам релятивистской динамики возникают при H0|r0| => c, т. е. на на космологических расстояниях |r0|=>103 Мпс. Тем не менее, формулы (F34)-(F35) подтверждают сделанное в предыдущем разделе утверждение, о возможности движения со скоростями, большими скорости света.