Билет 2 по квантовой механике

б) Рассмотрим случай, когда ,  где требуется найти коэффициент отражения, который определяется по формуле:

.

          В этом случае стационарное уравнение Шредингера для областей I и II перепишется в следующем виде:

I:        ,

II:       .

          Решением дифференциального уравнения (1) является волновая функция . Подставляя это решение в (1) получаем:

,

а значит для области I волновая функция примет следующий вид:

.

          Решением дифференциального уравнения (2) является волновая функция . Подставляя это решение в (2) получаем:

,

а значит для области II волновая функция примет следующий вид:

.

          Решение уравнения (2) содержит экспоненты с вещественными показателями, которые неограниченно возрастают, когда  стремится к бесконечности (), причём волновая функция должна быть конечной при любых значениях , поэтому необходимо принять константу  равную нулю. Вследствие этого получим:

I:                   и         

II:                             и         

          С учётом граничных условий получим систему коэффициентов:

.

          Отсюда найдём отношение коэффициентов  и :

          Подставляем  во второе уравнение и находим :

          Таким образом, получили:  - что и требовалось найти.