Нужна помощь в написании работы?

Лекция 1: Симметрические многочлены от двух переменных. Симметрические многочлены от трех переменных.

Симметрические многочлены  от  двух переменных

Определение. Многочлен f (х,у) называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на  y,а y на x.

Многочлен - симметрический. Напротив многочлен не является симметрическим: при замене на, а  на он превращается в многочлен, который не совпадает с первоначальным.

Приведем примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т.е.

 для любых чисел   и . Это равенство показывает, что многочлен  является симметрическим.

Точно так же из закона коммутативности умножения

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Следует, что произведение  является симметрическим многочленом.

Рассмотренные примеры симметрических многочленов являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от и . Для них используется специальное обозначение:

,

Кроме и ,часто встречатюся так называемые степенные суммы, т.е. многочлены Принято обозначать многочлен  через . Таким  образом,

                                                         ,

,

…………….

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмем любой (вообще говоря, не симметрический) многочлен от 1 и 2 и подставим в него вместо 1 и 2  их выражения через x и у. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и  у

 Если взять любой многочлен от 1 и 2 и подставить в него вместо1  и 2  их выражение 1 = х+у, 2=ху, то получится симметрический многочлен f (х, у).

Теорема. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от 1=х + y  и 2 =xy.

Доказательство: Сначала  докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Иными словами, мы установим, что каждую степенную сумму sn=xn+yn можно представить  в  виде многочлена от и .

С этой целью умножим обе части равенства

sk-1= хk-1 + ук-1 на 1= x+y.

 Получим:

1sk-1=(х+ y)(хк-1+yк-1)=хк+ хyk-1+x к-1у+уk= хк + yk + ху (хk-2 + уk-2) =

   = sk + k+2sk-2

Таким образом,

sk=1sk-1-2sk-2   (1)

Докажем равенство (1) методом математической индукции.

При к=1 s1=x+y= формула верна. Предположим, что она верна при k=n-1 т.е.  sn выражается через  и , проверим выполнимость формулы при k=n   sn=1sn-1-2sn-2 , по предположению sn-1,sn-2  выражаются черези , следовательно и  sn выражаются черези .Условия теоремы математической  индукции выполняются, значит sk=1sk-1-2sk-2   верна для любого k.

 

Любой симметрический многочлен от х и y содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встречаться одночлены, в которые х и у входят в одинаковых степенях, т.е. одночлены вида ахkуk. Ясно, что

ахkуk = а (ху)k= аk2,

т. е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через .

Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие  разные степени относительно х и у, т. е, одночлены вида bхkуl, где k.l. Ясно, что вместе с одночленом bхkуl  симметрический многочлен содержит также и одночлен bхlуk получаемый из bхkуl  перестановкой букв х и у. Другими словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида b(хkуl + хlуk)

Предполагая для определенности l>k, можно переписать этот двучлен следующим образом: b(хkуl + хlуk)=bxkyk(yl-k+xl-k)=bk2sl-k.. А т. к. по доказанному степенная сумма sl-k  представляется в виде многочлена от1  и 2, то и рассматриваемый двучлен выражается через  1  и 2.

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночлена вида ахkуk и двучлена вида  , каждый из которых выражается через 1  и 2 . Следовательно, любой симметрический многочлен представляется в виде многочлена от 1  и 2. Теорема полностью доказана.

 Симметрические многочлены от трех переменных

Мы рассмотрели симметрические многочлены от двух переменных х, у, т. е. многочлены, которые не меняются при перестановке местами х и у. В многочлене от трех переменных х, у, z  таких перестановок можно сделать не одну, а три: можно поменять местами х и у или х и z, или, наконец, у и z.

Определение. Многочлен f (х, у, z) называется  симметрическим, если при любой перестановке переменных он остается неизменным .

Условие симметричности многочлена f (х, у, z) записывается следующим образом:

f (х, у, z)=f(у, х, z)=f(z, y, х)=f(х, z, у).

Из коммутативности сложения вытекает, что симметричным является многочлен x+y+z, а из коммутативности умножения следует симметричность многочлена xyz.

Симметричны и  степенные суммы, т. е. многочлены, вида

.

   Вот еще примеры  симметрического многочлена от трех переменных:

ху +yz+xz,

,

Напротив, многочлен    х2z + у2z  не является симметрическим. Правда, при перестановке переменных х и y он не меняется: х2z + у2х = у2z + х2z.Но перестановка переменных x и z меняет вид этого многочлена – он переходит в многочлен

Наиболее простыми являются симметрические многочлены  , , .

 Их называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных x,y,z и обозначают через :

                                             

                                                     .

Заметим, что многочлен  - многочлен первой степени,- второй степени и  - многочлен третий степени.

 

Как и в случае двух переменных, можно построить симметрические многочлены от трех переменных.  Возьмем  любой  многочлен от переменных,  и заменим в нем  на x+y+z, -на xy+xz+yz и - на xyz. В результате мы получим многочлен, симметрично зависящий от х, у, z.

Теорема. Любой симметрический многочлен от х, у, z  можно представить в виде многочлена от ,,.

Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах от трех переменных несколько сложнее, чем для случая двух переменных, поэтому опустим его. (Приложение 3).

 

Лекция 2. Определение симметрических многочлена от m переменных.  Свойства симметрических  многочленов. Основная теорема о симметрических многочленах

Определение. Многочлен от m переменных называется симметрическим многочленом, если он не изменяется при любой перестановке переменных.

             Пример. Многочлен  f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32 является симметрическим т.к.  f(x2,x1,x3)=x23+x13+x33= f(x3,x2,x1)= f(x1,x2,x3)  

 Многочлен g(x1,x2,x3)=3x13+x23+3x33 симметрическим не является т.к. g(x2,x1,x3)=3x23+x13+3x33  g(x1,x2,x3)

             Пример. Многочлен x12+…+xm2+x1+x2+…+xmпереходит в себя при любой подстановке элементов x1,…,xm.

  Определение. Элементарными симметрическими многочленами от x1,…,xm называются многочлены

 

s1=x1+x2+…+xm;

s2=x1x2+x1x3+…+xm-1xm;

s3=x1x2 x3+…+xm-2xm-1xm;

………………………………

sm=x1x2…xm.

 Элементарные симметрические многочлены получаются, если рассмотреть многочлена j=(z-x1)(z-x2)…(z-xm), который равен многочлену

zm-(x1+x2+…+xm)zm-1+(x1x2+…+xm-1xm)zm-2+…+(-1)mx 1...xm.

Таким образом, j=zm-s1zm-1+s2zm-2-…+(-1)msm.

 Свойства симметрических  многочленов

10    Сумма, разность, произведение симметрических многочленов является симметрическим многочленом, т.е. множество симметрических многочленов является кольцом. 

20 Всякий симметрический многочлен можно представить в виде суммы однородных многочленов.

30 Если одночлен axna1 xna2…xnan входит в симметрический многочлен, то в  этот симметрический многочлен входят и одночлены, полученные из данного любой перестановкой переменных.

40 Показатели степеней переменных в высшем члене симметрического многочлена образуют не возрастающую последовательность.

50  Пусть ax1k1x2k2…xmkm- высший член ненулевого симметрического многочлена  f(x1,…,xm) ÎK.Тогда высшие члены многочленов f(x1,…,xm) и as1k1-k2s2k2-k3…smkm совпадают.

60 Убывающая цепочка ненулевых симметрических многочленов кольца многочленов  K не может быть бесконечной.

Доказательство некоторых свойств можно рассмотреть на практическом занятие или предложить учащимся это выполнить самостоятельно.

 Основная теорема о симметрических многочленах

 Теорема. Всякий симметрический многочлен из кольца  многочленов  K можно представить в виде многочлена  над K от элементарных симметрических многочленов s1,…,sm, т.е. для любого f(x1,…,xm)Î K существует такой многочлен g(x1,…,xm) Î K, что                                 f(x1,…,xm)= g(s1(x1,…,xm),…,sm(x1,…,xm))

 Доказательство. Пусть многочлена f(x1,…,xm) -не нулевой симметрический многочлен над K и a0x1k1x2k2…xmkm  -его высший член. Многочлен (1) f1= f- a0sk1-k2…smkm  -симметрический, как разность симметрических многочленов, причем, по свойству 50,  f  > f1. Пусть a1x1l1 …xm lm  - высший член многочлена f1. Аналогично, многочлен (2) f2= f1- a1s l1- l2…sm lm  является симметрическим, причем f1> f2  и т.д. В результате получается убывающая цепочка симметрических многочленов f> f1> f2> …..По свойству 60, эта цепочка не может быть бесконечной. Предположим, что она обрывается на (s+1)-м шаге, т.е. (s+1) fs+1= fs- assn1-n2…smnm  =0. Складывая почленно равенства (1),(2),…,(s+1), получим

f= a0sk1-k2…smkm  + a1s l1- l2…sm lm + …+ assn1-n2…smnm  .

Это равенство дает искомое представление симметрического  многочлена f в виде многочлена над K от элементарных симметрических многочленов s1,…,sm.

        Следствие. Пусть  j = zm+a1zm-1+…+am- многочлен над числовым  кольцом K и j = (z-c1)(z-c2)…(z-cm), где c1,…,cmÎC. Если f(x1,…,xm)- симметрический многочлен от x1,…,xm  с коэффициентами из K, то f(с1,…,сm)Î K.

Доказательство: Из равенства

(z-c1)(z-c2)… (z-cm) = zm+a1zm-1+ a2zm-2+…+am

вытекают  следующие формулы (формулы Виета), выражающие связь между корнями и коэффициентами многочлена:

с1+…+сm= -a1;

c1c2+…+cm-1cm= a2;

…………………….

c1c2…cm= (-1)mam.

Эти равенства можно записать в виде

s1( с1,…,сm) = -a1;

s2( с1,…,сm) = a2;

                                                 ………………..                      (1)    

             sm ( с1,…,сm) = (-1)mam. ;

В силу основной теоремы о симметрических многочленах симметрический многочлен f из K можно представить в виде многочлена g от элементарных симметрических многочленов s1,…,sm с коэффициентами из K, т.е.

f(x1,…,xm)= g(s1(x1,…,xm),…,sm(x1,…,xm)). (2)

 Полагая в равенстве (2) x1=c1,…,xm=cm и учитывая равенства (1), получим

                     f(c1,…,cm)= g(-a1, a2,…, (-1)mam)               (3)

 Кроме того, gÎ K и a1,…,amÎ K, следовательно, f(c1,…,cm) Î K.

Лекция 3: Решение систем уравнений от двух переменных

Теорема 1. Пусть  и - два произвольных числа. Квадратное  уравнение     

       

и система уравнений

                     

связанны друг с другом следующим образом: если z1, z2  корни квадратного уравнения , то система имеет два решения

  

и других решений не имеет; обратно, если x=a, y=b – решение системы, то числа a и b является корнями уравнения .

Доказательство. Если  и - корни квадратного уравнения, то по формулам  Виета

т.е. числа

     

является решениями системы  .

Пусть  - решение системы

Тогда имеем:

.

Но это означает, что числа a и b являются корнями квадратного уравнения . Теорема доказана.

Система двух уравнений с двумя неизвестными, состоящая из несимметрических уравнений, может быть сведена к симметричной системе введением новых (вспомогательных) неизвестных. Например, если в системе

заменить неизвестное у новым неизвестным z=-y придем к системе

левые части, которой симметрично зависят от x и y.

 Иногда нужная подстановка имеет более сложный вид. Например, в системе:

замена 3x=u, -2y=v, позволяет симметричную систему

Иногда, введением вспомогательных неизвестных можно свести уравнение с одним неизвестным к симметричной системе двух уравнений с двумя неизвестными.

Лекция 4: Решение систем уравнений от трех переменных

Теорема 2. Пусть ,, - три произвольных числа. Кубическое уравнение

=0

и система уравнений  

связаны друг с другом следующим образом: если корни кубического уравнения, то система уравнений  имеет шесть решений

      

(получающихся друг из друга перестановками) и других решений не имеет; обратно, если , -решение системы , то числа  являются корнями кубического уравнения .

Лемма. Если корни кубического уравнения , то имеют место следующие соотношения: , , .

Эти соотношения называют формулами Виета для кубического уравнения. Покажем, откуда эти соотношения вытекают. Итак, пусть корни кубического уравнения , тогда

.

Раскрывая скобки в правой части, находим:

.

Из равенства многочленов следует равенства соответствующих коэффициентов, т.е.

,

,

,

что и доказывает лемму.

Лекция 5:   Возвратные уравнения. Теорема Виета.

Симметрические многочлены можно применять и для  решения некоторых видов уравнений высших степеней.

 Рассмотрим так называемые возвратные уравнения.

Назовем многочлен   () возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, т.е. , , , …

Например, возвратным является многочлены:

,

,

Уравнение , левая часть которого представляет собой возвратный многочлен, называется возвратным.

В основе решения возвратных уравнений лежит следующая

Теорема 3. Всякий возвратный многочлен  четной степени 2k представляется в виде f(z)=, где и - некоторый многочлен степени k от.

Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.

Доказательство теоремы рассмотрено в Приложение 12.

Полагая , , получаем

                           и так далее.

Целая серия задач, в которых требуется вычислить некоторые выражения, содержащие корни заданного квадратного уравнения, содержащие корни заданного уравнения, также с успехом решается при помощи симметрических многочленов. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Дано квадратное уравнение ; составить новое квадратное уравнение, корнями которого является квадраты корней данного уравнения.

Решение. Для решения этой задачи обозначим корни данного уравнения через  , корни исходного – через  .  По теореме Виета

 

и точно так же,

Но, по условию задачи, имеем         и потому

.

Таким образом, искомое  квадратное уравнение имеет вид

 

Тем же методом можно решить и более сложные задачи. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Составить квадратное уравнение  корнями которого являются числа   где  -  корни квадратного уравнения

Решение. Для решения снова воспользуемся формулами Виета, согласно которым

С другой стороны, по тем же формулам,

Воспользуемся таблицей Приложения 1, легко выразим симметрические многочлены  через  и, подставив значения , вычислим интересующие нас коэффициенты. Имеем

Таким образом, , и потому искомое квадратное уравнение имеет вид

 

Лекция 6:  Доказательство неравенств

Симметрические многочлены применяются и для доказательства неравенств, используя выражение степенных сумм через    и следующую теорему.

Теорема 4. Пусть  - действительные числа. Для того чтобы оба числа x, y, определяемые из системы уравнений   были действительными, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяли неравенству .

Равенство  достигается лишь в случае, если x=y. Для того чтобы оба числа x,y, были  действительными и неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы числа  удовлетворяли неравенствам , ,

  Доказательство. Числа a и b, являются, в силу теоремы 1, корнями квадратного уравнения

,

т.е. совпадают с числами

.

Поэтому для того, чтобы корни квадратного уравнения x,y были действительные числа необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было не отрицательным, т.е. чтобы выполнялось  неравенство  . Равенство означает, что оба корня квадратного уравнения совпадают, т.е. x=y.

Если числа x,y не отрицательные, то, неравенство   выполняется еще неравенства , Пусть теперь, обратное, выполняются неравенства  ,,Как было показано выше, из первого неравенства следует, что числа  x и y действительные; так как , то оба они имеют одинаковый знак; наконец, из соотношения  вытекает, что они неотрицательные. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .

Решение: Рассмотрим разность

Следовательно  неравенство  верно.

 

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями