Содержание лекционного курса.

Лекция 1: Симметрические многочлены от двух переменных. Симметрические многочлены от трех переменных.

Симметрические многочлены  от  двух переменных

Определение. Многочлен f (х,у) называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на  y,а y на x.

Многочлен - симметрический. Напротив многочлен не является симметрическим: при замене на, а  на он превращается в многочлен, который не совпадает с первоначальным.

Приведем примеры симметрических многочленов. Как известно из арифметики, сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т.е.

 для любых чисел   и . Это равенство показывает, что многочлен  является симметрическим.

Точно так же из закона коммутативности умножения

Следует, что произведение  является симметрическим многочленом.

Рассмотренные примеры симметрических многочленов являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от и . Для них используется специальное обозначение:

,

Кроме и ,часто встречатюся так называемые степенные суммы, т.е. многочлены Принято обозначать многочлен  через . Таким  образом,

                                                         ,

,

…………….

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмем любой (вообще говоря, не симметрический) многочлен от 1 и 2 и подставим в него вместо 1 и 2  их выражения через x и у. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от x и  у

 Если взять любой многочлен от 1 и 2 и подставить в него вместо1  и 2  их выражение 1 = х+у, 2=ху, то получится симметрический многочлен f (х, у).

Теорема. Любой симметрический многочлен от x и y можно представить в виде многочлена от 1=х + y  и 2 =xy.

Доказательство: Сначала  докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Иными словами, мы установим, что каждую степенную сумму sn=xn+yn можно представить  в  виде многочлена от и .

С этой целью умножим обе части равенства

sk-1= хk-1 + ук-1 на 1= x+y.

 Получим:

1sk-1=(х+ y)(хк-1+yк-1)=хк+ хyk-1+x к-1у+уk= хк + yk + ху (хk-2 + уk-2) =

   = sk + k+2sk-2

Таким образом,

sk=1sk-1-2sk-2   (1)

Докажем равенство (1) методом математической индукции.

При к=1 s1=x+y= формула верна. Предположим, что она верна при k=n-1 т.е.  sn выражается через  и , проверим выполнимость формулы при k=n   sn=1sn-1-2sn-2 , по предположению sn-1,sn-2  выражаются черези , следовательно и  sn выражаются черези .Условия теоремы математической  индукции выполняются, значит sk=1sk-1-2sk-2   верна для любого k.

 

Любой симметрический многочлен от х и y содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встречаться одночлены, в которые х и у входят в одинаковых степенях, т.е. одночлены вида ахkуk. Ясно, что

ахkуk = а (ху)k= аk2,

т. е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через .

Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие  разные степени относительно х и у, т. е, одночлены вида bхkуl, где k.l. Ясно, что вместе с одночленом bхkуl  симметрический многочлен содержит также и одночлен bхlуk получаемый из bхkуl  перестановкой букв х и у. Другими словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида b(хkуl + хlуk)

Предполагая для определенности l>k, можно переписать этот двучлен следующим образом: b(хkуl + хlуk)=bxkyk(yl-k+xl-k)=bk2sl-k.. А т. к. по доказанному степенная сумма sl-k  представляется в виде многочлена от1  и 2, то и рассматриваемый двучлен выражается через  1  и 2.

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночлена вида ахkуk и двучлена вида  , каждый из которых выражается через 1  и 2 . Следовательно, любой симметрический многочлен представляется в виде многочлена от 1  и 2. Теорема полностью доказана.

 Симметрические многочлены от трех переменных

Мы рассмотрели симметрические многочлены от двух переменных х, у, т. е. многочлены, которые не меняются при перестановке местами х и у. В многочлене от трех переменных х, у, z  таких перестановок можно сделать не одну, а три: можно поменять местами х и у или х и z, или, наконец, у и z.

Определение. Многочлен f (х, у, z) называется  симметрическим, если при любой перестановке переменных он остается неизменным .

Условие симметричности многочлена f (х, у, z) записывается следующим образом:

f (х, у, z)=f(у, х, z)=f(z, y, х)=f(х, z, у).

Из коммутативности сложения вытекает, что симметричным является многочлен x+y+z, а из коммутативности умножения следует симметричность многочлена xyz.

Симметричны и  степенные суммы, т. е. многочлены, вида

.

   Вот еще примеры  симметрического многочлена от трех переменных:

ху +yz+xz,

,

Напротив, многочлен    х2z + у2z  не является симметрическим. Правда, при перестановке переменных х и y он не меняется: х2z + у2х = у2z + х2z.Но перестановка переменных x и z меняет вид этого многочлена – он переходит в многочлен

Наиболее простыми являются симметрические многочлены  , , .

 Их называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных x,y,z и обозначают через :

                                             

                                                     .

Заметим, что многочлен  - многочлен первой степени,- второй степени и  - многочлен третий степени.

 

Как и в случае двух переменных, можно построить симметрические многочлены от трех переменных.  Возьмем  любой  многочлен от переменных,  и заменим в нем  на x+y+z, -на xy+xz+yz и - на xyz. В результате мы получим многочлен, симметрично зависящий от х, у, z.

Теорема. Любой симметрический многочлен от х, у, z  можно представить в виде многочлена от ,,.

Доказательство основной теоремы о симметрических многочленах от трех переменных несколько сложнее, чем для случая двух переменных, поэтому опустим его. (Приложение 3).

 

Лекция 2. Определение симметрических многочлена от m переменных.  Свойства симметрических  многочленов. Основная теорема о симметрических многочленах

Определение. Многочлен от m переменных называется симметрическим многочленом, если он не изменяется при любой перестановке переменных.

             Пример. Многочлен  f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32 является симметрическим т.к.  f(x2,x1,x3)=x23+x13+x33= f(x3,x2,x1)= f(x1,x2,x3)  

 Многочлен g(x1,x2,x3)=3x13+x23+3x33 симметрическим не является т.к. g(x2,x1,x3)=3x23+x13+3x33  g(x1,x2,x3)

             Пример. Многочлен x12+…+xm2+x1+x2+…+xmпереходит в себя при любой подстановке элементов x1,…,xm.

  Определение. Элементарными симметрическими многочленами от x1,…,xm называются многочлены

 

s1=x1+x2+…+xm;

s2=x1x2+x1x3+…+xm-1xm;

s3=x1x2 x3+…+xm-2xm-1xm;

………………………………

sm=x1x2…xm.

 Элементарные симметрические многочлены получаются, если рассмотреть многочлена j=(z-x1)(z-x2)…(z-xm), который равен многочлену

zm-(x1+x2+…+xm)zm-1+(x1x2+…+xm-1xm)zm-2+…+(-1)mx 1...xm.

Таким образом, j=zm-s1zm-1+s2zm-2-…+(-1)msm.

 Свойства симметрических  многочленов

10    Сумма, разность, произведение симметрических многочленов является симметрическим многочленом, т.е. множество симметрических многочленов является кольцом. 

20 Всякий симметрический многочлен можно представить в виде суммы однородных многочленов.

30 Если одночлен axna1 xna2…xnan входит в симметрический многочлен, то в  этот симметрический многочлен входят и одночлены, полученные из данного любой перестановкой переменных.

40 Показатели степеней переменных в высшем члене симметрического многочлена образуют не возрастающую последовательность.

50  Пусть ax1k1x2k2…xmkm- высший член ненулевого симметрического многочлена  f(x1,…,xm) ÎK.Тогда высшие члены многочленов f(x1,…,xm) и as1k1-k2s2k2-k3…smkm совпадают.

60 Убывающая цепочка ненулевых симметрических многочленов кольца многочленов  K не может быть бесконечной.

Доказательство некоторых свойств можно рассмотреть на практическом занятие или предложить учащимся это выполнить самостоятельно.

 Основная теорема о симметрических многочленах

 Теорема. Всякий симметрический многочлен из кольца  многочленов  K можно представить в виде многочлена  над K от элементарных симметрических многочленов s1,…,sm, т.е. для любого f(x1,…,xm)Î K существует такой многочлен g(x1,…,xm) Î K, что                                 f(x1,…,xm)= g(s1(x1,…,xm),…,sm(x1,…,xm))

 Доказательство. Пусть многочлена f(x1,…,xm) -не нулевой симметрический многочлен над K и a0x1k1x2k2…xmkm  -его высший член. Многочлен (1) f1= f- a0sk1-k2…smkm  -симметрический, как разность симметрических многочленов, причем, по свойству 50,  f  > f1. Пусть a1x1l1 …xm lm  - высший член многочлена f1. Аналогично, многочлен (2) f2= f1- a1s l1- l2…sm lm  является симметрическим, причем f1> f2  и т.д. В результате получается убывающая цепочка симметрических многочленов f> f1> f2> …..По свойству 60, эта цепочка не может быть бесконечной. Предположим, что она обрывается на (s+1)-м шаге, т.е. (s+1) fs+1= fs- assn1-n2…smnm  =0. Складывая почленно равенства (1),(2),…,(s+1), получим

f= a0sk1-k2…smkm  + a1s l1- l2…sm lm + …+ assn1-n2…smnm  .

Это равенство дает искомое представление симметрического  многочлена f в виде многочлена над K от элементарных симметрических многочленов s1,…,sm.

        Следствие. Пусть  j = zm+a1zm-1+…+am- многочлен над числовым  кольцом K и j = (z-c1)(z-c2)…(z-cm), где c1,…,cmÎC. Если f(x1,…,xm)- симметрический многочлен от x1,…,xm  с коэффициентами из K, то f(с1,…,сm)Î K.

Доказательство: Из равенства

(z-c1)(z-c2)… (z-cm) = zm+a1zm-1+ a2zm-2+…+am

вытекают  следующие формулы (формулы Виета), выражающие связь между корнями и коэффициентами многочлена:

с1+…+сm= -a1;

c1c2+…+cm-1cm= a2;

…………………….

c1c2…cm= (-1)mam.

Эти равенства можно записать в виде

s1( с1,…,сm) = -a1;

s2( с1,…,сm) = a2;

                                                 ………………..                      (1)    

             sm ( с1,…,сm) = (-1)mam. ;

В силу основной теоремы о симметрических многочленах симметрический многочлен f из K можно представить в виде многочлена g от элементарных симметрических многочленов s1,…,sm с коэффициентами из K, т.е.

f(x1,…,xm)= g(s1(x1,…,xm),…,sm(x1,…,xm)). (2)

 Полагая в равенстве (2) x1=c1,…,xm=cm и учитывая равенства (1), получим

                     f(c1,…,cm)= g(-a1, a2,…, (-1)mam)               (3)

 Кроме того, gÎ K и a1,…,amÎ K, следовательно, f(c1,…,cm) Î K.

Лекция 3: Решение систем уравнений от двух переменных

Теорема 1. Пусть  и - два произвольных числа. Квадратное  уравнение     

       

и система уравнений

                     

связанны друг с другом следующим образом: если z1, z2  корни квадратного уравнения , то система имеет два решения

  

и других решений не имеет; обратно, если x=a, y=b – решение системы, то числа a и b является корнями уравнения .

Доказательство. Если  и - корни квадратного уравнения, то по формулам  Виета

т.е. числа

     

является решениями системы  .

Пусть  - решение системы

Тогда имеем:

.

Но это означает, что числа a и b являются корнями квадратного уравнения . Теорема доказана.

Система двух уравнений с двумя неизвестными, состоящая из несимметрических уравнений, может быть сведена к симметричной системе введением новых (вспомогательных) неизвестных. Например, если в системе

заменить неизвестное у новым неизвестным z=-y придем к системе

левые части, которой симметрично зависят от x и y.

 Иногда нужная подстановка имеет более сложный вид. Например, в системе:

замена 3x=u, -2y=v, позволяет симметричную систему

Иногда, введением вспомогательных неизвестных можно свести уравнение с одним неизвестным к симметричной системе двух уравнений с двумя неизвестными.

Лекция 4: Решение систем уравнений от трех переменных

Теорема 2. Пусть ,, - три произвольных числа. Кубическое уравнение

=0

и система уравнений  

связаны друг с другом следующим образом: если корни кубического уравнения, то система уравнений  имеет шесть решений

      

(получающихся друг из друга перестановками) и других решений не имеет; обратно, если , -решение системы , то числа  являются корнями кубического уравнения .

Лемма. Если корни кубического уравнения , то имеют место следующие соотношения: , , .

Эти соотношения называют формулами Виета для кубического уравнения. Покажем, откуда эти соотношения вытекают. Итак, пусть корни кубического уравнения , тогда

.

Раскрывая скобки в правой части, находим:

.

Из равенства многочленов следует равенства соответствующих коэффициентов, т.е.

,

,

,

что и доказывает лемму.

Лекция 5:   Возвратные уравнения. Теорема Виета.

Симметрические многочлены можно применять и для  решения некоторых видов уравнений высших степеней.

 Рассмотрим так называемые возвратные уравнения.

Назовем многочлен   () возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, т.е. , , , …

Например, возвратным является многочлены:

,

,

Уравнение , левая часть которого представляет собой возвратный многочлен, называется возвратным.

В основе решения возвратных уравнений лежит следующая

Теорема 3. Всякий возвратный многочлен  четной степени 2k представляется в виде f(z)=, где и - некоторый многочлен степени k от.

Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.

Доказательство теоремы рассмотрено в Приложение 12.

Полагая , , получаем

                           и так далее.

Целая серия задач, в которых требуется вычислить некоторые выражения, содержащие корни заданного квадратного уравнения, содержащие корни заданного уравнения, также с успехом решается при помощи симметрических многочленов. Рассмотрим два примера.

Пример 1. Дано квадратное уравнение ; составить новое квадратное уравнение, корнями которого является квадраты корней данного уравнения.

Решение. Для решения этой задачи обозначим корни данного уравнения через  , корни исходного – через  .  По теореме Виета

 

и точно так же,

, 

Но, по условию задачи, имеем         и потому

.

Таким образом, искомое  квадратное уравнение имеет вид

 

Тем же методом можно решить и более сложные задачи. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Составить квадратное уравнение  корнями которого являются числа   где  -  корни квадратного уравнения

Решение. Для решения снова воспользуемся формулами Виета, согласно которым

С другой стороны, по тем же формулам,

Воспользуемся таблицей Приложения 1, легко выразим симметрические многочлены  через  и, подставив значения , вычислим интересующие нас коэффициенты. Имеем

Таким образом, , и потому искомое квадратное уравнение имеет вид

 

Лекция 6:  Доказательство неравенств

Симметрические многочлены применяются и для доказательства неравенств, используя выражение степенных сумм через    и следующую теорему.

Теорема 4. Пусть  - действительные числа. Для того чтобы оба числа x, y, определяемые из системы уравнений   были действительными, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяли неравенству .

Равенство  достигается лишь в случае, если x=y. Для того чтобы оба числа x,y, были  действительными и неотрицательными, необходимо и достаточно, чтобы числа  удовлетворяли неравенствам , ,

  Доказательство. Числа a и b, являются, в силу теоремы 1, корнями квадратного уравнения

,

т.е. совпадают с числами

.

Поэтому для того, чтобы корни квадратного уравнения x,y были действительные числа необходимо и достаточно, чтобы подкоренное выражение было не отрицательным, т.е. чтобы выполнялось  неравенство  . Равенство означает, что оба корня квадратного уравнения совпадают, т.е. x=y.

Если числа x,y не отрицательные, то, неравенство   выполняется еще неравенства , Пусть теперь, обратное, выполняются неравенства  ,,Как было показано выше, из первого неравенства следует, что числа  x и y действительные; так как , то оба они имеют одинаковый знак; наконец, из соотношения  вытекает, что они неотрицательные. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что при любых действительных a и b справедливо неравенство .

Решение: Рассмотрим разность

Следовательно  неравенство  верно.