Содержание семинарских занятий

Семинары №1,2,3

Выразить через   степенные суммы s1, s2, s3, s4, s5  от x,y.

Выразить через  степенные суммы s4, s5, s6, s7, s8  от x,y,z.

Семинары №4,5 Разложение симметрических многочленов на множители

 Прием заключается в том, что рассматриваемый симметрический многочлен выражают через  и затем полученное выражение разлагают на множители. При выражение симметрического многочлена четвертой степени через  получается многочлен второй степени относительно . Для разложение его на множители достаточно найти корни полученного многочлена второй степени.

Задание 1. Разложить на множители многочлен

a)     

b)   

c)   

d)   

e)   

Замечание: Решение задания1 (a-d) рассмотрено в Приложение 5

Семинары №6,7 Освобождение от иррациональности в знаменателе выражения

Симметрические многочлены позволяют решать многие трудные задачи на освобождение от иррациональности в знаменателе.

В случае, когда знаменатель имеет вид  или Эту задачу можно решить и без применения симметрических многочленов. Для этого достаточно использовать формулы:

();

Например, если надо освободиться от иррациональности в знаменателе выражения

,

то сначала умножаем числитель и знаменатель на «сопряженное выражение »   (что приводит знаменатель к виду ), а потом - на . Мы получаем:

Теперь уже можно использовать вторую из приведенных выше формул. Положим в ней . Тогда ясно, что надо умножить числитель и знаменатель на выражение

+

После умножения получим:

Сложнее обстоит дело, если знаменатель состоит из трех или большего числа иррациональных слагаемых. Здесь-то могут помочь симметрические многочлены.

Задание 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения.

a)   

b)   

Замечание: Решение задания 2 рассмотрено в Приложение 6

Семинары №8,9  Решение систем уравнений от двух переменных

      Задание 3.  Решить систему уравнений

a)   

b)   

c)   

d)   

e)   

Замечание: Решение задания 3 рассмотрено в Приложение 7

Семинар №10 Решение систем уравнений от трех переменных

Задание 4. Решить систему уравнений.

a)   

b)   

c)   

Замечание: Решение задания 4 рассмотрено в Приложение 8

Семинары №11,12,13 Решение возвратных уравнений

Задание 5. Решить уравнение

a)   

b)    +9=0

c)   

Замечание: Решение задания 5 рассмотрено в Приложение 9

Семинары №14,15 Доказательство неравенств

Задание 6. Доказать, что если a,b - действительные числа, удовлетворяющие условию , то справедливы неравенства:

, ,

Задание 7. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство:

Задание 8. Доказать, что при любых неотрицательных a и b справедливо неравенство:

Задание 9. Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c справедливо неравенство:

Замечание: Решение задания 6,7,8,9 рассмотрено в Приложение 10

Семинар №16,17 Доказательство тождеств

Задание 10. Доказать, что если  то для любого нечетного n справедливо тождество

Задание 11. Доказать, что если , то

.

Задание 12. Доказать, что если

,

то .

Задание 13. Докажите тождество

.

Замечание: Решение задания 10, 11, 12, рассмотрено в Приложение 11.                

Примерные варианты индивидуальных домашних заданий.

Вариант №1

1. Разложите симметрический многочлен на множители.

2.    Освободитесь  от иррациональности в знаменателе выражения.

.

3.        Решите системы уравнений.

1.                     2.  .

4. Решите уравнения.

.

5. Докажите тождество

Вариант №2

1.Разложите симметрический многочлен на множители

.

2.Освободитесь  от иррациональности в знаменателе                   выражения

.

3. Решите системы уравнений

1.           2.

4. Решите уравнения

.

5. Докажите неравенство

.