Первая философская концепция математики была предложена пифагорейской школой. Пифагорейцы отделяли чувственный мир, в котором царит случайность, от космоса как идеальной основы мира, которая может быть понята только умозрительно, посредством самого разума. Всё высказываемое о чувственном мире, недостоверно, является только мнением, и лишь утверждения математики, относящиеся к космосу, выступают подлинным знанием, обладающим истинностью и неопровержимостью. Пифагорийцы, таким образом, отделяли математику от других наук по предмету, а также по методу: математические утверждения опираются не на показания чувств, а на умозрение, то есть на разум, который способен, как они полагали, непосредственно, без опоры на чувственный опыт отражать глубинные законы мироздания.
Математика определяла и общее пифагорейское понимание реальности, которое выражалось в положении: «Всё есть число». Это положение выражало веру пифагорийцев, что всякая вещь содержит некоторую присущую ей меру, определённое гармоническое соединение частей, благодаря которому она и существует. Они были убеждены также в том, что вещь может быть познана в своей сущности только через раскрытие её числа, её внутренней пропорциональности. В соответствии с такой установкой они пытались соединить наиболее значимые вещи с числами, которые раскрывали бы их природу. Известно, что богатство и благо они соотносили с числом пять, согласие и дружбу – с числом четыре, вселенную - с числом десять и так далее. Положение «все есть число» имело и другой, менее понятный для нас смысл. Как это видно из сочинений Аристотеля, они понимали число не только в качестве внутренней структуры вещей, но и в качестве их причины, то есть они мыслили числа как особого рода субстанцию, определяющую само их возникновение. Можно сказать, что Пифагор и его последователи возводили числа в начало всех вещей, ставили их на место природных стихий, из которых исходили первые греческие философы.
Пифагорейский взгляд на математику был господствующим в античной философии. Это видно на примере диалогов Платона, в частности, «Теэтете» и «Тимее». Платоновский Бог – демиург строит мир опираясь на идею пропорционального соотношении всех его частей: «Бог поместил между огнём и землёй воду и воздух, после чего установил между ними возможно более точные соотношения, дабы воздух относился к воде, как огонь к воздуху и вода относилась к земле, как воздух к воде. Так сопряг их, построя из них небо, видимое и осязаемое. На таких основаниях и из таких составных частей числом четыре родилось тело космоса, упорядоченное благодаря пропорции, и благодаря этому в нём возникла дружба, так что разрушить его самотождественность не может никто, кроме лишь того, кто сам её сплотил».
Каждое из природных начал соединяется с одним из пяти правильных многогранников: огонь – с тетраэдром, земля – с гексаэдром, вода – с октаэдром, воздух – с икосаэдром, космос как высшее совершенство имеет форму сферы. Здесь мы наблюдаем первые попытки использовать математические объекты для описания реальности, для выражения её сущностных связей.
Первый удар по пифагорейской философии математики был нанесён развитием самой математики, а именно открытием несоизмеримых геометрических величин. Факт существования несоизмеримых величин подрывал гармонию между арифметикой и геометрией, которая для пифагорейцев была само собой разумеющейся, а также пифагорейскую идеологию в целом. Необходимо было признать в силу самой строгой логики, что при любом выборе единицы измерения найдутся величины неизмеримые и непредставимые отношением натуральных чисел, которые уже не могут быть поняты как соответствующие определённому числу. Но если число является недостаточным уже для описания геометрических величин, то его универсальность для выражения других, более сложных вещей становится в высшей степени сомнительной.
Другая причина постепенного ослабления пифагорейской философии математики состояла в развитии философии, в появлении более обоснованного и убедительного объяснения природы математических объектов. Огромная роль принадлежит здесь Аристотелю, в сочинениях которого дана широкая в определённом смысле исчерпывающая критика пифагоризма. Хотя Аристотель – непосредственный ученик Платона, его мировоззрение отличается от платоновского радикальным образом. Аристотель скорее исследователь природы, чем умозрительный философ, он ценит факты и логику больше чем мифологические построения. Отношения Аристотеля к пифагорейцам отрицательное и даже пренебрежительное. Пифагорейская философия ложна прежде всего потому, что она не раскрывает причин вещей. «На каком основании – спрашивает Аристотель – числа суть причины? Есть семь гласных, гармонию дают семь звуков, семи лет животные меняют зубы, было семь вождей против Фив. Так разве потому, что число таково по природе, вождей оказалось семь или Плеяды состоят из семи звёзд? А может быть, вождей было семь потому, что было семь ворот…». Пифагорейские сопоставления для Аристотеля – простая игра с числами, основанная на случайных совпадениях и не имеющая значения для истинного объяснения явлений.
В философии Аристотеля появилась новое понимание математического мышления, которое известно сегодня под названием математического эмпиризма. В основе этой концепции лежит убеждение в первичности опытного знания. По Аристотелю, математические предметы не являются чем-то существующим отдельно от вещей: они связаны с вещами и возникают как таковые из способности отвлечения. «И лучше всего можно каждую вещь рассмотреть таким образом: полагая отдельно то, что отдельно не существует, как это делает исследователь чисел и геометр». Смысл этого высказывания состоит в том, что человек, воспринимая вещи во всем многообразии свойств, отвлекается от них, оставляя лишь некоторые из них и исследуя их как отдельно (самостоятельно) существующие. Математика, по Аристотелю, является наиболее абстрактной наукой: если физик отвлекается от всех качеств тел, кроме их движения, то математик отвлекается и от движения, оставляя в сфере своего внимания только фигуры и числа. Математик строит особый идеальный мир, основанный на отвлечениях. Этот мир не является независимым от чувственных вещей, он берётся как независимый лишь условно, для ясности и простоты рассмотрения интересующих нас свойств. Вещи первичны перед математикой и определяют её содержание.
Аристотель высказал также ряд других идей, заслуживающих рассмотрения. Он выдвинул положение о том, что строгость математического рассуждения объясняется простотой её предмета. Под простотой здесь имеется в виду не лёгкость усвоения математики, а специфическая абстрактность её предмета, отсутствие разнородности качеств, которые присутствуют в физике и других, более конкретных науках. Им высказана также идея о глубинной связи математики с понятием прекрасного. Важнейшие виды прекрасного, считал. Аристотель, - это слаженность, соразмерность и определённость, но именно эти стороны вещей и выявляет математика.
Аристотелевская концепция математики является более обоснованной и более соответствующей логике научного мышления. Значительное число учёных в настоящее время придерживаются аристотелевского воззрения на математику: они считают, что математика вторична перед физикой, что исходные математические объекты есть лишь абстрактные схемы реального бытия вещей. С этой точки зрения математика – абстрактная физика, отвлечённая от анализа сил и движений, одна из наук о природе, и именно по этой причине она с успехом прилагается к описанию природы.
Однако эмпирическое воззрение на математику встретилось с большими трудностями. Уже давно было замечено, что математические утверждения не подвергаются опровержению. Доказанное в математике – доказано навсегда, в то время как в физике нет ни одного утверждения, которое не стояло бы перед опасностью пересмотра и корректировки. Кроме того, математика в обосновании не использует никаких показаний опыта. Исследуя пространство, геометрия не обращается к опытному анализу пространственных отношений. Многие объекты, исследуемые в математике, в принципе не могут быть поняты в качестве абстракций из опыта, затруднения возникают уже с отрицательными числами, ещё более проблематичны иррациональные и комплексные числа. Понятие бесконечности, используемое в математике, не имеет коррелята в чувственном опыте.
В XVІІ – XVІІІ сформировалась концепция математики, которая получила название априоризма. Априоризм в некоторой степени возвращает к пифагорейскому делению знания на чувственное и умопостигаемое, так как математика объявляется принципиально внечувственным знанием, основанным на специфической интеллектуальной или чистой чувственной интуиции.
Учение об априорности математики получило дальнейшее развитие в философии И. Канта. Кант отказался от мнения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитичностью, по. Канту, обладает только логика, остальные же виды априорных истин являются синтетическими. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистой чувственности, чувственного, но неэмпирического созерцания, которое позволяет сформулировать положения априорные и одновременно синтетические, не сводимые к тавтологиям типа А = А. Исходные положения геометрии опираются, по Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики – на чистое представление о времени. Чистые представления пространства и времени определяют, по Канту, как состав исходных принципов математики, так и логику математического мышления. Любое математическое доказательство самоочевидно в том смысле, что каждый его шаг может совершаться только на основе очевидного синтеза.
Появление неевклидовых геометрий в 19 в. Поколебало истинность кантовского априоризма. Эти геометрии показывают возможность существования математических теорий, не обладающих априорной и самоочевидной основой. Их аксиоматика не является очевидной, она обладает лишь логической определённостью. Это свидетельствует о том, что априористкое воззрение на математику ограничено и не определяет её истинного предмета и метода.
В конце 19 в. в связи с осмыслением статуса неевклидовых геометрий и теории множеств стала оформляться новая концепция математики, получившая название формалистской философии математики.
Формализм утверждает:
1. Математика не является наукой, исследующей аспекты реальности, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания и состоит из совокупности структур, пригодных для этой цели;
2. основным требованием к аксиомам математических теории является не их очевидность и не их связь с опытом, а их непротиворечивость, которая необходима и достаточна для её приложения к опытным наукам;
3. к математике неприменимо понятие истинности в смысле опытного подтверждения. Математическая теория сама по себе не истинна и не ложна. Она становится таковой только после соединения её понятий с понятиями опытных наук;
4. обоснование математической теории заключается в доказательстве непротиворечивости её аксиом.
На протяжении 20 века появились новее воззрения на природу математики, наметилось возрождение эмпиризма. Ж Пиаже сформулировал операциональный подход к пониманию природы исходных математических понятий. По Пиаже, необходимо различать два вида опыта: физический и логико-математический. Когда ребёнок рассматривает камешки и сравнивает их по цвету, он находится в сфере физического опыта и физических абстракций, когда же начинает считать камешки, то он отвлекается от всех их физических качеств и обращает внимание только на операции, необходимые для того, чтобы переложить их из одной кучки в другую. Исходные математические понятия, по Пиаже, сформировались в опыте, но не сфере физического, а в сфере логико-математического или операционального опыта, то есть через наблюдение операциональной активности. Ошибка эмпиризма в том, что он ставил своей задачей вывести исходные представления математики их физического опыта. Математика – наука о реальных и мысленных операциях, и таким образом, она имеет свой предмет, определённый структурой операционального опыта.
Другой вариант эмпирического понимания математического мышления предложил И. Лакатос в работе «Доказательство и опровержение». По И. Лакатосу, не существует идеально строгих доказательств. Оно содержит в себе систему скрытых допущений, неявных предпосылок, которые могут оказаться ошибочными. Полное выявление такого рода допущений не может быть выявлено, поэтому доказательство называется строгим в соответствии с принятыми для данного времени критериями строгости, которые не являются неизменными.
В последнее время появились также воззрения на математику, которые можно назвать неоаприоризмом. Такую точку зрения отстаивает Я. Хинтикка и другие. Они настаивают на априорности исходных принципов арифметики и евклидовой геометрии. Математика с этой точки зрения разбивается на две части: первичная, априорная математика, принципы которой обладают самоочевидностью и вторичная, формальная математика, созданная для прикладных задач, удовлетворяющая только требованию непротиворечивости.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему