Нелинейные модели регрессии. Нелинейность по переменным и нелинейность по параметрам. Логарифмирование.

Соотношение между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом могут возникать неоправданно большие ошибки.

Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства – трудом, капиталом и т.п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удается. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.

Если модель нелинейна по переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой можно использовать обычный метод наименьших квадратов.

Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели

,            i=1,…,п,              (1)

то, вводя новые переменные,  и , получим линейную модель

                         i=1,…,п,               (2)

параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов.

Следует, однако, отметить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок β получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.

Более сложной проблемой является нелинейность модели по параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модель

                                 ,              i=1,…,п,              (3)

экспоненциальную модель

                                 ,            i=1,…,п,              (4)

и другие

В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удается привести к линейной форме. Так, указанные выше модели могут быть приведены к линейным логарифмированием обеих частей уравнений.

Логарифмическое преобразование – переход от нелинейной по переменным либо по параметрам модели (либо одновременно) к логарифмической линейной модели.

Однако заметим, что это бывает не всегда. В модели

                                 ,            i=1,…,п,              (5)

рассматриваемой в качестве альтернативной по отношению к моделям, изложенным выше, методы исследования линейной регрессии уже непригодны, так как данную модель нельзя привести к линейному виду. В этом случае используются специальные (итеративные) процедуры оценивания параметров.

         В качестве примера использования линеаризирующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа:

                                      (6)

где Y – объем производства, К – затраты капитала, L – затраты труда.

Показатели α и β являются коэффициентами частной эластичности объема производства Y соответственно по затратам капитала К и труда L. Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1% объем производства увеличится на α% (β%).

Учитывая влияние случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению, функцию Кобба-Дугласа можно представить в виде:

               i=1,…,п,              (7)

Полученную мультипликативную (степенную) модель легко свести к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения. Тогда для i-го наблюдения получим:

    i=1,…,п,               (8)

Если в модели α + β = 1 (то есть модель такова, что при расширении масштаба производства, связанном с увеличением затрат капитала К и труда L в некоторое число раз, объем производства возрастает в то же число раз), функцию Кобба-Дугласа представляют в виде:

                                (9)

                                                         или

                                                                                  (10)

Таким образом, получаем зависимость производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Для оценки параметров модели путем логарифмирования приводим ее к виду (для i-го наблюдения).

                                         i=1,…,п,               (11)