Понятие об авторегрессионых моделях и моделях скользящей средней.

Модели авторегрессии – это модели, в которых в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной. Например,

уt =a + b0·xt+c1·yt-1+ut                               (3)

Коэффициент регрессии b0 в данной модели характеризует краткосрочное изменение у под влиянием изменения х на единицу своего измерения.

Коэффициент с1 характеризует изменение у в момент t под воздействием своего изменения в предшествующий момент времени t-1.

Произведение коэффициентов b0·x1 называют промежуточным мультипликатором. Данный показатель характеризует общее абсолютное изменение результата у в момент t+1.

Показатель

b = b0 + b0·c1 + b0·c12 + bo·c13 +...                        (4)

называют долгосрочным мультипликатором. Он характеризует общее абсолютное изменение у в долгосрочном периоде.

Практически во все модели авторегрессии вводят условие стабильности, состоящее в том, что |с1| < 1. Тогда при наличии бесконечного лага

b = b0+b0·c1+b0·c12+b0·c13+...= b0 / (1 - c1)                   (5)

Применение МНК к моделям авторегрессии неприемлемо, так как нарушается 1-я предпосылка нормальной линейной модели регрессии, а именно, одна из объясняющих переменных yt-l частично зависит от случайной составляющей ut. Это приводит к получению смещенной оценки параметра при переменной yt-1.

Для оценивания параметров уравнения регрессии используют метод инструментальных переменных. Суть метода состоит в следующем. Переменную yt-l из правой части уравнения, для которой нарушается предпосылка МНК, заменяют новой переменной, удовлетворяющей требованиям:

• она должна тесно коррелировать с yt-1;

• она не должна коррелировать со случайной составляющей ut.

Затем оценивают регрессию с новой инструментальной переменной с помощью обычного МНК.

Понятие о скользящей средней.

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях одним для определения тенденции развития явления используют скользящие средние.

Метод скользящих средних основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.

Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда у, около своего среднего значения а характеризуется дисперсией σ2, то разброс средней из m членов временного ряда  около того же значения а будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной . Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторыми весами), медиана и др.

Пример. Провести сглаживание временного ряда yt по данным таблицы 1 методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.

Решение. Скользящие средние находим по формуле:

Таблица 1

Данные и решение

Например, , и т.д.