Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии. Построение доверительных интервалов.

Интервалы прогноза по линейному уравнению регрессии. Построение доверительных интервалов.

yтеор (хр)=a*+(b*)*хр (1)

Для каждой точки на линии регрессии можно построить доверительные интервалы с вероятностью р=1-a=0,95, так, что они будут лежать в этих интервалах.

yтеор (хср)=a*+(b*)*хср (2)

Линия регрессии проходит точно через т. (хср;yср).

a*= yср - (b*)*xср (3)

Подставляем в (1): yтеор (хр)= yср + (b*)* (хр- xср).

Цель: выяснить дисперсию этого значения

m2 yтеор (хр)=D yтеор (хр)= D yср + D((b*)*(хр- xср)) - cov(yср + (b*)* (хр- xср)), где m – среднеквадратич отклонение. Если переменные неизменны, cov=0.

cov (x;y)=(åi от 1 до n (xi-xср)*(yi-yср))/n.

m2 yтеор (хр)= D yср+(xр-xср)2*Db*= m2 ycр+ (m2 b*)*((xр-xср)2

m2 ycр @ d2yср/n @ S2ост/((n-2)*n) ------- оценка

m2 b*@d2yср*1/(åi от 1 до n (xi-xср)2)@ S2ост/((n-2)*(åi от 1 до n (xi-xср)2)

myтеор (хср)=Корень квадр из (S2ост/(n-2))*корень квадр из (1/n+(xр-xср)2/(åi от 1 до n (xi-xср)2)).

Для среднеквадратич отклонения точки, лежащей на линии регрессии на оси абсцисс т.х прогнозное.

txp = (yтеор (хр)-a-b*xp)/ myтеор (хр) – распределена по закону Стьюдента

g(число степеней свободы для парной линейной регрессии)=n-2.

a=0,05, 1-a=0,95   

  Р(½(yтеор (хр)-a-b*xp)/ myтеор (хр)½  < ta/2,n-2)=1- a

 Р(½yтеор (хр)-a-b*xp½£ ta/2,n-2* myтеор (хр))=1- a, где ta/2,n-2* myтеор (хр) – радиус интервала.

½y - центр½<радиуса

yÎ(центр –R, центр +R)

yтеор (хр) - ta/2,n-2* myтеор (хр) < a+b*xp < yтеор (хр) +  ta/2,n-2* myтеор (хр)

a*+(b*)*хр -  ta/2,n-2*  Корень квадр из (S2ост/(n-2)*корень квадр из (1/n+(xр-xср)2/(åi от 1 до n (xi-xср)2)) < a+b*xp < a*+(b*)*хр  +  ta/2,n-2* Корень квадр из (S2ост/(n-2)*корень квадр из (1/n+(xр-xср)2/(åi от 1 до n (xi-xср)2)), где самая левая часть нижняя доверит граница, а самая правая – верхняя доверит граница.

Замечание 1: хр=хср – самый узкий коридор, чем дальше хр удаляется от хср, тем интервал будет шире (это плохо).

Замечание 2: это неравенство записано для точек, лежащих на линии регрессии, такое же неравенство можно записать для фактических точек, расположенных от линии регрессии на g2y=S2ост/(n-2).

То же самое неравенство только в середине yиндив(хр) и под вторым корнем будет 1+1/n…