Множественная регрессия. Отбор факторов при построении множественной регрессии.

Множественная регрессия(МР) широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, издержек пр-ва и других вопросах. Основная цель МР- построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное воздействие на моделируемый показатель.

Yi=Yteor(x1i;x2i )+ei      Yteor(x1i;x2i )=a* +b1x1*+b2*x2i (+...bp*xpi)

S(a* b1* b2*)=n i=1∑( yi-a- b1x1- b2x2i)2→min a, b1,b2. a a*,b1*,b2*-решение задачи.

Решение задачи следует из условия минимума функций многих переменных. Производная в точке минимума д.б. равна 0.

(1)∂s/∂a(a*;b1*;b2*)=2∑(ayi-a*-b1*x1i- b2*x2i)(-1)=0; (x2)=2x; (-x)1=-1; (c)1=0

(2)∂s/∂b1(a*;b1*;b2*)=2∑(yi-a*-b1*x1i-b2*x2i)(-x1i)=0; (cx)1=c

(3)∂s/∂b2(a*;b1*;b2*)=2∑(yi-a*-b1*x1i-b2*x2i)(-x2i)=0; *(-1)

(1);(2);(3)-система нормальных уравнений.

∑Yi= a*(∑1)+ b1*(∑x1i)+ b2*(∑x2 i); (∑1)=n

∑(Yix1i)= a*∑x1i+ b1*∑x1i2+ b2*∑(x2ix1i)

∑(Yix2i)= a*∑x2i+ b1*∑(x1i x2 i)+ b2*∑x2 i2

    ∑Yi

d=∑(Yix1i)

    ∑(Yix2i)

       n;     ∑x1i;       ∑x2 i;

A=∑x1i; ∑x1i2;      ∑x2ix1i;

       ∑x2i;   ∑x1i x2 i; ∑x2 i2;

       a*

x=b1*

    b2*

d=A*x; A-1; A-1d=x

х и d – векторы, причем х- вектор неизвестных коэф-тов

1 шаг: сформировать матрицу А, сформировать столбец d,

2 шаг: сделать обратную матрицу,

3 шаг: полученную матр умножаем на матр умножаем на d, получаем х.

4 шаг: проверяем с помощью сервиса ан-з данных регрессия.

Замечание: также как в парной регрессии коэффициент ур-ия множественной регрессии м. вычислять 2-мя способами: 1.ч/з линейную ф-ю. 2.Сервис→ан данных→регрессия(более предпочтительный способ) коэффициенты вычисл-ся и располагаются более естественно.

Правило получения хорошей модели: 1) Fфакт> Fтабл. 2) вероятность или значение д.б.<0,05. Yтеор(Xi;X2i)=a*+b*Xi+b2*X2i+b3*X3i – наиболее точная.

Факторы, включенные во МР, должны отвечать следующим требованиям:

1 д.б. количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий кол-го измерения, то ему нужно придать количественную определенность(в модели стоимости объектов недвижимости учитывается место нахождения недвижимости, и районы м.б. проранжированы)

2. Факторы не д.б. интеркоррелированы и находиться в точной функциональной связи. Система нормальных уравнений м. оказаться плохо обусловленной и повлечет неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии если  включаются в модель факторы с высокой интеркорреляцией , когда Ryx1<Rx1x2 для зависимости y=a+b1x1+b2x2+e. Если м/у факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми. Так в уравнении y=a+b1x1+b2x2+e. предполагается , что факторы x1, x2 независимы друг от друга, т.е. rx1x2=0. Тогда м. говорить, что параметр b1 измеряет силу влияния фактора x1 на результат у при неизменном значении фактора x2. Если же rx1x2=1, то с изменением фактора x1 фактор x2 не может оставаться неизменным. Отсюда b1 и b2 нельзя интерпретировать как показатели раздельного влияния x1 и x2 и на y.