Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) Из-за показательного роста числа экспериментов с увеличением размерности пространства ПФП оказываются практически неприемлемыми при больших
. Однако из матрицы ПФП
может быть отобрана некоторая часть, называемая дробным факторным планом (ДФП), которая сохраняет свойство ортогональности. Правило построения ДФП состоит в следующем. Задается порядок дробности
. Из
входных переменных отбирают n-p переменных (их называют основными), и для них строят полный факторный план
. Этот план затем дополняют
столбцами, соответствующими оставшимся переменным. Для определения способа образования этих столбцов вводится понятие генератора (генерирующего соотношения) плана. Генератор представляет собой произведение граничных значений (
) основных переменных, определяющее граничные значения элементов каждого из дополнительных
столбцов матрицы плана. Так, для построения линейной модели от трех переменных
можно воспользоваться ДФП типа
с генератором
:
Чем выше размерность пространства , тем большее число генераторов плана можно предложить. Целесообразно выбирать такие из них, которые соответствуют незначимым взаимодействиям. Действительно, в состав базисных функций входят и левая и правая части генератора и, поскольку от эксперимента к эксперименту они меняются одинаковым образом, различить эффекты, соответствующие частям генератора, не представляется возможным. Так, если в качестве генератора выбрано соотношение
, то получить раздельные оценки для
и
нельзя. Соответствующий ДФП позволяет оценить лишь суммарное воздействие линейного фактора
и тройного взаимодействия
. Подобные оценки называют смешанными. Однако, если взаимодействие незначимо, т.е.
, то
будет практически несмешанной оценкой. Для определения порядка смешивания вводят понятие контраста плана. Контраст – это генерирующее соотношение, задающее элементы столбца свободного члена матрицы
. (Со свободным членом уравнения регрессии связывается фиктивная переменная
, тождественно равная единице.) Контраст получают из генерирующего соотношения умножением на переменную, стоящую слева от знака равенства. Для ДФП с генератором
контраст есть
, так как
. Чтобы определить, с какими переменными или взаимодействиями смешана оценка некоторой данной переменной, необходимо умножить обе части контраста на эту переменную. При этом получают порядок смешивания оценок коэффициентов при использовании данного плана.
Пусть, к примеру, исследуется объект из трех переменных полная модель которого есть
(В выражении (6.3) и далее случайное возмущение опускается.) В ходе исследования было решено ограничиться линейным (по переменным) описанием
, (6.4)
что дало основание воспользоваться ДФЭ с генератором
с определяющим контрастом
. Порядок смешивания для переменных
следующий:
,
,
. (6.5)
С учетом (6.5) сгруппируем подобные члены в модели (6.3): . (6.6)
Сравнивая (6.6) и (6.4) , видим, что при оценивании линейной модели (6.4) получаются не чистые оценки свободного члена и линейных эффектов
а оценки комбинаций, включающих двойные и тройные (для свободного члена) эффекты:
.
Таким образом, платой за сокращение числа экспериментов стала совместность оценок. Если же поставить дополнительно четыре эксперимента с генератором , то получим оценки
.
Восемь оценок дают возможность получить раздельные оценки эффектов. Так,
есть оценка
, а
– оценка
и так далее. Это и понятно, поскольку две серии экспериментов с генераторами
и
дают вкупе полный факторный эксперимент, который обеспечивает раздельное оценивание коэффициентов.
В отсутствии априорной информации о значимости взаимодействий предпочтение отдается генераторам, отвечающим взаимодействиям высокого порядка, поскольку коэффициенты регрессии при них по абсолютной величине, как правило, меньше.
К достоинствам факторных планов следует отнести их хорошие точностные свойства. Легко доказать, что они являются D-, G-, A- оптимальными. К примеру, у ПФП , используемого для оценки коэффициентов модели вида
, матрица плана X и матрица значений базисных функций F имеют вид:
,
.
Отсюда , а
. Левая часть выражения (6.2) примет вид
, поскольку
. Максимум этой формы достигается в вершинах квадрата:
,
и равняется четырем. Число оцениваемых коэффициентов (k+1) также четыре. Следовательно, условие (6.2) выполняется.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему