Простейшие адаптивные модели и их свойства. Экспоненциальное сглаживание.

Адаптивная модель временного ряда – модель, в которой коэффициенты уточняются с учетом новых порций поступающей информации об уровнях ряда.

Эктраполяция – особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала и не между заданными значениями.

Прогнозирование на основе метода экстраполяции базируется на гипотезе, что выявленные закономерности по фактическим данным сохраняются и в будущем.

Общий вид адаптивной модели

Принципы адаптивных прогнозов:

1) динамика процесса на конец периода более влияет на будущее состояние;

2) усредненная тенденция развития процесса не учитывается;

3) краткосрочность прогноза;

4) динамичность параметров модели.

Преимущества:

1) высокая степень адаптивности модели, ее постоянная изменчивость («настраиваемость» на изменяющуюся тенденцию);

2) высокая точность модели;

3) возможность учета сезонного фактора.

Недостатки:

1) краткосрочность прогноза;

2) сложность реализации в некоторых случаях;

3) отсутствие некой долговременной закономерности изменения процесса во времени.

Фазовый анализ – метод исследования локальных колебаний временного ряда, носящих ассиметричный, нерегулярный характер, имеющих неустойчивый период.

Цель анализа – определить основные свойства временного ряда на основе набора специальных показателей.

Задачи:

1. Идентифицировать основные фазы временного ряда.

2. Определить количественные показатели повторяемости каждой фазы и ее продолжительности.

3. Оценить показатели изменения уровней ряда по фазам.

4. Построить модель временного ряда на основе последовательной смены фаз, с адаптивными коэффициентами.

Цикл – периодичность, повторяемость характера колебаний уровней временного ряда, включающих сменяющие друг друга фазы.

Фаза – период положительного, либо отрицательного прироста уровней ряда относительно базы.

Флуктуация ( yt ) – величина случайного отклонения  xt от некоторого установленного исследователем уровня mx :  yt = xt -mx .

В качестве mx могут рассматриваться:

1) среднее значение 1

 2) предшествующее значение

3) нормативное значение: константа ;

 4) уровень глобального тренда x( t m) = a t + b.

Для выделения колебательного процесса в ходе предварительной обработки данных необходимо исключить глобальный тренд. Т.е. на начальном этапе необходимо перейти от исходного ряда xt к ряду флуктуаций  yt,

Исключение линейного тренда

Исключение авторегрессионного тренда

Мощность флуктуации – величина флуктуации Dyt = yt .

Различают флуктуации:

- положительные - характеризуют возрастание уровней ряда относительно базы:

- отрицательные – соответствующие фазе убывания уровней ряда относительно базы:

Для проведения фазового анализа необходимо наличие флуктуаций

обоего знака! Иначе весь временной ряд описывается одной фазой.

ФАЗА – период времени непрерывных положительных или отрицательных

флуктуаций ряда.

Фаза роста – период положительных флуктуаци

Фаза падения – период отрицательных флуктуаций

Числовые характеристики фаз

1. Длительность фазы – временной отрезок, количество точек, принадлежащих фазе:

2. Средняя продолжительность фаз возрастания – средняя длительность аналогичных фаз за весь период исследования

3. Средняя продолжительность фаз убывания - средняя длительность аналогичных фаз за весь период исследования

4. Мощность фазы – сумма флуктуаций, полученных в течение фазы, характеризует изменение цены в течении фазы

5. Средняя мощность положительных фаз – характеризует средний ожидаемый прирост уровней ряда в течение положительной фазы:

6. Средняя мощность отрицательных фаз – средний ожидаемый прирост в течение отрицательной фазы

7. Мощность флуктуаций ряда (мощность ряда) – сумма флуктуаций всего ряда

8.Точка смены фазы (повторная точка) – значение временного ряда для которого выполнено:

- условие локального максимума (больше соседних);

- условие локального минимума (меньше соседних) .

Между двумя поворотными точками выявляется фаза.

9. Агрегирование фаз – процесс сглаживания незначительных колебаний, незначимых фаз.

10. Фазовая диаграмма – представление временного ряда в виде сменяющих друг друга фаз.

Алгоритм агрегирования фаз

Шаг 1. Рассчитываем уровень флуктуаций временного ряда  .

Шаг 2. i =1. Определяем начальный уровень деления ряда по фазам  . Рассчитываем мощность каждой фазы .

Шаг 3. Задаем критическое значение .

Шаг 4. По всем t проверяем, если  p (t,i) <e , то фазы с номерами t и t -1, t +1, объединяются, а их мощность вычисляется как  сумма

Таким образом, в результате получаем набор фаз F    , имеющих мощности -

Шаг 5. i = i +1. Пересчитываем значение i i 1 e e e - = + и переходим к шагу 4.

Вычисления продолжаются до тех пор пока не достигнем нужной степени агрегирования фаз.

По результатам выделения фаз строим фазовую диаграмму.

Приближение уровней ряда по результатам фазового анализа

1. линейное приближение

где at , bt - параметры линейной зависимости найденные МНК по точкам фазы t ; tt - номер наблюдения от момента начала фазы.

2. тригонометрическое приближение