Оценивание параметров в системах одновременных уравнений: косвенный и двухшаговый МНК.

Косвенный метод наименьших квадратов.

Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работ:

ü структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

ü для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (δij);

ü коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

Пример:

Приведенная форма модели, построенной на основе имеющихся данных, имеет вид:

где u1, u2 - случайные ошибки приведенной формы модели

Для каждого уравнения приведенной формы модели применяет традиционный МНК и определяем δ-коэффициенты. Для первого уровня приведенной формы модели система нормальных уравнений составит:

для второго уровня:

Переходим от приведенной к структурной форме модели:

Двухшаговый метод наименьших квадратов.

Основная идея ДМНК — на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название двухшагового МНК, ибо дважды используется МНК: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной:

ŷi=δi1x1 + δi2x2+…+ δijxj

и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

ü все уравнения системы сверхидентифицируемы;

ü система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели:

Данная модель может быть получена из предыдущей идентифицируемой модели:  

если наложить ограничения на ее параметры, а именно: b12 =a11

В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым: Н=1 (у1), D=1(х2)  и D+1 > Н. Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым: Н = 2 и D=1

На первом шаге найдем приведенную форму модели, а именно:

ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений.  

Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи, применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике. В частности, при построении производственных функций анализ спроса можно вести, используя обычный МНК.