Эндогенные и экзогенные переменные. Проблема идентифицируемости систем уравнений.

Структурная форма модели содержит эндогенные переменные – . Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, и (которые определяются внутри системы). Экзогенные переменные – . Это независимые переменные, которые определяются вне системы и влияющие на эндогенные переменные, но независящие от них. Лаговые переменные – независимые переменные за предыдущие моменты времени. Лаговыми могут быть эндогенные переменные за предшествующий период времени, и тогда они являются экзогенными.

Предопределённые переменные – это экзогенные и лаговые.

При переходе от приведённой формы модели к структурной возникает проблема идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведённой и структурной формами модели. Рассмотрим это на примере:

 .                        (5)

из второго уравнения следует: =.

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной переменной y1 c одним и тем же набором переменных, но с разными коэффициентами. Наличие двух вариантов для расчёта структурных коэффициентов одной и той же модели связано с неполной её идентификацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнений системы из n эндогенных и m  экзогенных переменных, содержит  параметров.

Приведённая форма модели – x параметров, но  x< +x , случай =1  не рассматриваем. Следовательно, параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из x параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы, равны нулю. Тем самым уменьшится число коэффициентов структурной модели. Так, если предположить, что в нашей системе ,   и

то                       

                (6)       

тогда приведенная форма модели имеет вид:

;

.

и если в системе (5) при =3 было 8 коэффициентов (),  а в приведенной только 6, то теперь в системе (6) 6 коэффициентов, и в приведённой 6, и тогда однозначность структурных коэффициентов обеспечена.

Уменьшение числа структурные коэффициентов модели возможно и другими путями, например, приравнивания некоторых коэффициентов друг другу, то есть путем предположений, что их взаимодействие на формируемую эндогенную переменную одинаково.

С позиции идентифицируемости, модели можно разделить на 3 вида:

1. идентифицируемые;

2. неидентифицируемые;

3. сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные её коэффициенты определяются однозначно по коэффициентам приведённой формы модели, то есть число параметров одной модели равно числу параметров другой.

Модель неидентифицируема, если число приведённых коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов. Структурная модель в полном виде  – эндогенных и  – экзогенных переменных, всегда неидентифицируема.

Модель сверхидентифицируема, если число приведённых коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

В этом случае на основе коэффициентов приведённой формы можно получить более одного значения каждого структурного коэффициента. В этом частном случае системы (6), если ещё и , то система станет сверхидентифицируемой.

в ней 5 коэффициентов, а 6 коэффициентов приведённой формы.

Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически разрешима, но требует для этого специальных методов вычисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию.

Модель идентифицируема – если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение неидентифицируемо, то и все модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемым, необходимо, чтобы число  – предопределённых переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу – эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Для полной системы имеем nxm параметров приведённой системы и  параметров структурной модели, поэтому в общем случае параметры структурной модели не могут быть однозначно определёнными через параметры приведённой формы модели.

Для каждого уравнения системы имеем

 – параметров приведённой формы,

  – параметров структурной модели;

Обозначим

 – число экзогенных переменных, которые присутствуют в уравнении,

 – число экзогенных переменных, которые отсутствуют в данном уравнении,

;

Обозначим  – число эндогенных переменных в уравнении, тогда очевидно, чтобы решить поставленную задачу определения параметров модели, необходимо потребовать, чтобы , в этом случае уравнение идентифицируемо; если , то уравнение неидентифицируемо; если , то уравнение сверхидентифицируемое.

Указанное условие отражает необходимое условие идентификации, но не достаточное. Достаточное условие формируется с помощью ограничений на матрицу коэффициентов системы. Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов при эндогенных и экзогенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, объясняется это тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы: , а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентифицируемости.