Гетероскедастичность и автокорреляция случайного члена.

Одним из предположений теории наименьших квадратов является предположение, что все ошибки  наблюдений имеют одинаковые дисперсии. Однако, при моделировании реальных экономических процессов это предположение выполняется далеко не всегда. Посмотрим на ряд урожайностей зерновых в США на рис. 4.1. Можно предположить, что с начала 20 века, с повышением уровня агротехники, индустриализацией и химизацией сельского хозяйства росла не только средняя урожайность, но и абсолютные колебания урожаев вокруг среднего уровня. Если описать изменения среднего уровня урожайности некоторым уравнением регрессии, то ошибки наблюдений будут возрастать с течением времени.

Предположение о том, что ошибки  наблюдений имеют одинаковые дисперсии, называется гомоскедастичностью. Если же ошибки  наблюдений имеют разные дисперсии, то говорят о гетероскедастичности наблюдений.

во многих случаях обнаружение гетероскедастичности визуально не столь очевидно. Чтобы определить, присутствует ли гетероскедастичность на самом деле, применяют различные тесты.

Все тесты основаны на предположении о наличии связи между дисперсиями остатков моделей и объясняющими переменными или расчетными значениями зависимой переменной в случае гетероскедастичности.

Эта связь обнаруживается с помощью коэффициента ранговой корреляции в тесте ранговой корреляции Спирмена, либо предполагается пропорциональность стандартных отклонений  и зависимой переменной Y в тесте Голдфелда-Квандта, либо строятся различные линейные и нелинейные регрессии , 2 , на объясняющие переменные или степени зависимой переменной Y  и проверяется значимость полученных коэффициентов регрессии в тесте Уайта.

Подходы к решению проблемы гетероскедастичности

1-й общий подход к решению данной проблемы состоит в преобразовании исходных данных таким образом, чтобы для преобразованных данных модель уже обладала свойством гомоскедастичности. Применяют чаще всего два вида преобразований а) логарифмирование данных; б) переход к безразмерным величинам путем деления на некоторые известные величины, той же размерности, что и исходные данные. Возможна также стандартизация исходных данных.

Второй подход состоит в применении взвешенного и обобщенного метода наименьших квадратов.

Вычитая из данных X(ti) выровненные значения , получаем остатки, случайную составляющую тренда

e(t) =X(t) -  .                                               (5.14)

Обычно считается, что выравнивание удовлетворительное, если остатки e(t) образуют стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием me(t) = M = 0.

Кроме того, для корректного применения МНК, необходимо более жесткое предположение, что e(t) – случайные независимые (хотя бы некоррелированные) величины с me(t) = 0. Если же e(ti) коррелируют между собой, то говорят, что в модели присутствует автокорреляция остатков. Метод наименьших квадратов и в этом случае дает несмещенные  и  состоятельные  оценки  коэффициентов  уравнений  кривых.

Однако, получаемые при этом стандартные ошибки и доверительные интервалы для коэффициентов оказываются заниженными.

Это может привести к ошибочным выводам при оценке качества отобранной модели поведения временного ряда. Значительная корреляция остатков сигнализирует о том, что, либо кривая  подобрана неудачно, либо придется строить еще одну модель для описания поведения самих остатков e(ti).

Итак, при анализе модели тренда необходимо определить присутствует или нет автокорреляция в e(ti). Предварительную оценку случайности поведения остатков проводят на основе критерия поворотных точек. В соответствии с ним каждое значение e(ti) ряда остатков сравнивается с двумя рядом стоящими значениями e(ti – 1) и e(ti + 1).

Если e(ti) > e(ti–1) и e(ti) > e(ti+1) или e(ti) < e(ti–1), e(ti) < e(ti+1), то точка e(ti) считается поворотной (в ней достигается локальный максимум или минимум). Далее подсчитывается общее количество поворотных точек P. В случайном ряду остатков должно выполнятся строгое неравенство:

P > [2(n – 2)/3 – 2.                                               (5.15)

Квадратные скобки здесь означают, что берется целая часть числа (не путать с процедурой округления). Отметим, что критерий поворотных точек сигнализирует только о наличии положительной корреляции в ряде остатков. Если число поворотных точек P велико, приближается к n – 2 , то можно говорить о наличии отрицательной корреляции между соседними членами временного ряда остатков. Критерий поворотных точек является предварительным и его следует дополнить другими, более точными критериями.