Математика как наука. Основные направления развития современной математики.

Матема́тика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.

Математика изучает универсальные абстракции, укорененные в бытии посредством категорий формы и количества. Она вездесуща, широко применима к окружающей действительности через многочисленные модели, создаваемые математиками как по внутреннему побуждению и логике науки, так и благодаря запросам практики. Таким образом, объектом математики как науки служат фундаментальные категории формы и количества, рассматриваемые в наиболее общем и чистом виде, проявляемые во всем мыслимом разнообразии. Предметом математики являются математические структуры и математические модели той или иной реальности, отражающие и уточняющие объект математики. Общий метод математики есть строгое доказательство. В математике используют два вида умозаключений: дедукция и индукция. Индукция – метод исследования, в котором общий вывод строится на основе частных посылок. Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера. Тем не менее, математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. Как в самой математике, так и в других науках, особенно в естествознании, широко применяется гипотетико-дедуктивная форма познания. Метод математического моделирования незаменим во многих науках.

В математике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и тоже дифференциальное уравнение может описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

Содержание математики постоянно меняется, обогащается, возникают новые разделы, направления исследований и, соответственно новые конкретные методы математического познания. Объект математики и ее дедуктивный характер измениться не могут, предмет математики в принципе также сохраняется, меняется лишь его содержательное наполнение. Исторически изменяются, развиваются и совершенствуются, формируются и обновляются, становятся все более абстрактными только сами математические структуры и модели, расширяется и углубляется осознанная математическая реальность. Математика исследует предметы и явления действительности с точки зрения «внешних» категорий количества и формы, проникая через них к содержанию и сущности изучаемых вещей. В этом и заключается природа науки математики. Математика сродни философии. Обе занимаются глобальными вопросами, изучают универсальные абстракции. Только философия пытается уловить «сущность», а математика успешно справляется с «явлением»

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитыми логическим и вычислительным аппаратами был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры.

Математика в наше время превратилась в научную дисциплину со множеством направлений исследований, огромным количеством результатов и методов. Математика теперь настолько велика, что нет возможности одному человеку охватить ее во всех ее частях, нет возможности быть в ней специалистом-универсалом. Потеря связей между ее отдельными направлениями - безусловно отрицательное следствие бурного развития этой науки. Однако в основе развития всех отраслей математики есть общее - истоки развития, корни древа математики.

В современной философии математики существуют два главных противоборствующих течения - фундаменталистское и социокультурное, или нефундаменталистское.

Фундаментализм. Математика принципиально едина и единственна: она имеет свои неизменные объект, предмет и общие методы познания, пользуется абсолютно истинной классической двузначной логикой. Другое дело, что математика делима на разные разделы, по методам и направлениям исследования. Среди математиков выделяются «геометры» (представители образного мышления) и «алгебраисты» (склонные к формально-логическому мышлению), довлеющие к интуиции или логике, радетели аксиоматики или качественной теории. Но это не мешает математике быть математиков Математики открывают знание. Математическая реальность имеет объективный онтологический статус. Обоснование математики можно провести на основе априорной природы исходных понятий. Утверждается надежность и достоверность доказательств в математике.

Социокультурное направление. Социокультурная философия науки, в частности математики, предполагает определяющее влияние культуры и социума конкретных стран и времен на стиль мышления, развитие и лицо науки. Подчеркивается наличие множественности математик, зависящих от времени и географии: математика разных стран и народов сильно варьируется. Нет единой, универсальной математики. Даже современная математика подразделяется нефундаменталистами на математику профессиональных математиков, математику математических логиков, инженерную математику, математику физиков, математику гуманитариев и т.д. Ставится под сомнение надежность и строгость математического доказательства. Математики изобретают новое знание, достаточно произвольно конструируют математическую реальность, опираясь на интуицию. Наряду с классической логикой существуют другие равноправные логики, скажем, интуиционистская. Социокультурная философия математики захватывает все большее число философов математики (назовем таких идеологов этого направления, как М.И.Панов и А.Г. Барабашев) и некоторых математиков (В.М. Тихомиров, В.А. Успенский).

Выделим ряд основополагающих проблем, решаемых фундаменталистами и нефундаменталистами принципиально по-разному.

1. Об объективном и вполне определенном характере математики. Фундаменталисты решают этот вопрос положительно, а нефундаменталисты привносят в его решение много субъективного, изменчивого, зависимого от социально-исторических условий, мышления и математической деятельности отдельных людей.

2. Едина и единственна ли существующая математика? Как сказано выше, по мнению фундаменталистов математика едина, однозначно предопределена и, стало быть, единственна. Нефундаменталисты признают принципиальную множественность математик и, соответственно, различие путей развития математики. Фундаменталист говорит «Математика в России», а нефундаменталист скажет «Математика России»

3. Математики открывают или произвольно конструируют математическую реальность? Фундаментализм поддерживает онтологический статус математических истин. Нефундаментализм считает математику продуктом человеческого сознания, существенно зависящего от тех социальных и культурных обстоятельств, в которых живет и мыслит человек.

4. О достоверности математического доказательства. Математическое доказательство надежно и достоверно, возможны лишь разные уровни его строгости (фундаментализм). Нефундаменталисты делают главный и решающий акцент на логико-математических установках (аксиоматике) и методологических принципах, лежащих в основе доказательства той или иной теоремы, которые меняются и не могут быть окончательными.

5. Толкование априоризма. Представители фундаментализма признают априорный характер (врожденный) математических очевидностей, наших исходных представлений о пространстве и времени, а представители нефундаментализма априоризм в определенной мере приравнивают к интуиции.

6. Исходные очевидности. Фундаменталисты признают наличие объективных, непосредственно воспринимаемых очевидностей, лежащих в основе математической деятельности и способствующих (вместе с априорными представлениями и логикой) надежности и истинности математических рассуждений. Нефундаменталисты же не признают объективный характер очевидностей, которые для них являются интуитивными актами сознания субъекта, конструирующего математическую реальность.

7. Роль логики в математике. Математика - дедуктивная наука, опирающаяся на классическую логику (фундаментализм). У различных математик могут существовать свои - тоже разные - логики (нефундаментализм).

Современную математику часто сравнивают с большим городом. Это - прекрасное сравнение, поскольку в математике, как и в большом городе, происходит непрерывный процесс роста и совершенствования. В математике возникают новые области, строятся изящные и глубокие новые теории подобно строительству новых кварталов и зданий. Но прогресс математики не сводится только к изменению лица города из-за строительства нового. Приходится изменять и старое. Старые теории включаются в новые, более общие; возникает необходимость укрепления фундаментов старых построек. Приходится прокладывать новые улицы, чтобы устанавливать связи между далекими кварталами математического города. Но этого мало - архитектурное оформление требует значительных усилий, поскольку разностильность различных областей математики не только портит общее впечатление от науки, но и мешает пониманию науки в целом, установлению связей между различными ее частями.

В построении математических теорий большую роль играет требование красоты. Само собой разумеется, что ощущение красоты весьма субъективно и нередко встречаются достаточно уродливые представления на этот счет. И все же приходится удивляться тому единодушию, которое вкладывается математиками в понятие «красота»: результат считается красивым, если из малого числа условий удается получить общее заключение, относящееся к широкому кругу объектов. Математический вывод считается красивым, если в нем простыми и короткими рассуждениями удается доказать значительный математический факт. Зрелость математика, его талант угадываются по тому, насколько развито у него чувство красоты. Эстетически завершенные и математически совершенные результаты легче понять, запомнить и использовать; легче выявлять и их взаимоотношения с другими областями знания.