Дифференциальные уравнения равновесия жидкости. Пьезометрическая высота. Ваккуум. Измерение давления.

Система уравнений Эйлера 1775г (уравнения равновесия) определяет закон распределения давления в покоящейся жидкости вдоль соответствующей оси координат.

здесь X,Y,Z – напряжения массовых сил в проекциях на соответствующие оси координат x, y, z,

p – давление в соответствующей точке жидкости,

ρ - плотность жидкости.

Из уравнений Эйлера можно получить следующий вид основного дифференциального уравнения равновесия жидкости

Если ввести силовую (потенциальную) функцию U, такую, что

,

то для несжимаемой жидкости дифференциальное уравнение равновесия примет вид:

8. Основное уравнение гидростатики

В однородном поле силы тяжести при постоянстве плотности жидкости

dU=gdz, тогда

dp= – ρgdz,

Проинтегрировав, получим основное уравнение гидростатики:

p=p0+ρgh,

h=(z0-z)  - расстояние по вертикали между рассматриваемыми двумя точками (нулевой и точкой, в которой определяется давление).

Закон Паскаля

Изменение давления в какой- либо точке жидкости передается без изменения во все другие точки этой жидкости.

Пьезометрическая высота, равная , представляет собой высоту столба жидкости, соответствующую данному давлению p (абсолютному или избыточному).

Пьезометрическую высоту, соответствующую избыточному давлению, можно наблюдать в так называемом пьезометре – простейшем устройстве для измерения давления. Пьезометр представляет собой вертикальную стеклянную трубку, верхний конец которой открыт в атмосферу, а нижний присоединен к тому объему жидкости, где измеряется давление

Применяя формулу к жидкости, заключенной в пьезометре, получим

 где pабс – абсолютное давление в жидкости на уровне присоединения пьезометра;

 pa – атмосферное давление.

 Отсюда высота подъема жидкости в пьезометре равна

                              (2.3)

 где pизб – избыточное давление на том же уровне.

 Очевидно, что если на свободную поверхность покоящейся жидкости действует атмосферное давление, то пьезометрическая высота для любой точки рассматриваемого объема жидкости равна глубине расположения этой точки.

 Часто давление в жидкостях или газах численно выражают в виде соответствующей этому давлению пьезометрической высоты по формуле (2.3). Например одной технической атмосфере соответствуют 10 м вод. ст. или 735 мм рт. ст. Если абсолютное давление в жидкости или газе меньше атмосферного, то говорят, что имеет место разрежение, или вакуум. За величину разрежения, или вакуума принимается недостаток до атмосферного давления

 или

Возьмем, например, трубу с плотно пригнанным к ней поршнем, опустим нижний ее конец в сосуд с жидкостью, и будем постепенно поднимать поршень

 Жидкость будет следовать за поршнем и вместе с ним поднимется на некоторую высоту h от свободной поверхности с атмосферным давлением. Так как для точек, расположенных под поршнем, глубина их погружения относительно свободной поверхности отрицательна, то согласно уравнению, абсолютное давление жидкости под поршнем

                                              (2.4)

 а величина вакуума

 По мере подъема поршня абсолютное давление жидкости под поршнем уменьшается. Нижним пределом абсолютного давления в жидкости является нуль, а максимальное значение вакуума численно равно атмосферному давлению, поэтому максимальная высота всасывания жидкости определится из уравнения (2.4), если в нем положить p = 0 (точнее, p = pn). Таким образом, без учета упругости паров

                                                     (2.5)

 При нормальном атмосферном давлении (1,033 кГ/см2) высота hmax равна: для воды 10,33 м, для ртути 760 мм.

 Простейшим устройством для измерения вакуума может служить стеклянная трубка, показанная на рис. в двух вариантах.

 Вакуум в жидкости  может измеряться либо с помощью U – образной трубки, либо путем использования перевернутой U – образной трубки, один конец которой опущен в сосуд с жидкостью.

 Для измерения давления жидкостей и газов помимо пьезометров пользуются манометрами, которые делятся на жидкостные, механические и электрические.