Дифференциальное уравнение равновесия жидкости - Лекции - Введение в аэрогидромеханику и гидравлику

          Запишем уравнение Эйлера

 .

          Если жидкость покоится

 .

          Дифференциальные уравнения равновесия жидкости в проекции на оси декартовой системы координат могут быть записаны так

 .

          Здесь Fx, Fy, Fz - проекции на оси x,y,z  сил, действующих на единицу массы рассматриваемой жидкости.

          Умножая давления соответственно на dxdydz  и складывая их, получаем

 .

          Левая часть уравнения представляет полный дифференциал

 ,

следовательно, и правая часть должна быть также полным дифференциалом, для этого необходимо и достаточно, при постоянном r, чтобы существовала функция U(x,y,z) такая что

,   ,   .

          Имеем

.

          Проинтегрировав, получим

,

          где С - постоянная интегрирования.

Если в какой-либо точке известно давление po и постоянная функция Uo, то

 ,

из интеграла имеем

 .

          В частности, когда жидкость находится в поле сил тяжести

  ,   ,   .

          Следовательно,

          Уравнение для давления принимает вид

.

          Свободная поверхность жидкости плоская  z=const. При равновесии жидкости в поле земного тяготения поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

          Рассмотрим примеры.

Пример 1.  Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся горизонтально с ускорением а.

Решение. На жидкость действуют сила тяжести и сила инерции, т.е.

,   ,   .

          Следовательно, свободная поверхность представляет собой плоскость, наклоненную к горизонту под углом , который определяется из равенства

 .

Пример 2. Определить уравнение свободной поверхности жидкости в сосуде, вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью w .

          Решение. Вследствие трения о стенки сосуда жидкость будет вращаться с такой же угловой скоростью. Жидкость будет находиться в относительном покое. Поэтому при решении задачи применимы уравнения равновесия.

          Откуда

,

          т.е. свободная поверхность - параболоид вращения.