Нужна помощь в написании работы?

Необходимость определения вероятностных характеристик процесса пересечения с. функцией заданного уровня возникает, когда необходимо вычислить вероятность того, что в течение срока службы нагрузка, действующая на строительную конструкцию, не превысит допустимого уровня. Найдем вероятность пересечения случайной функцией (дифференцируемой) X(t) некоторого уровня а в течение времени t. Полагая скорость изменения с.ф. V(t)=dX(t)/dt постоянной в течение времени dt (с точностью до бесконечно малых второго порядка) условие пересечения функцией X(t) уровня а за малый промежуток времени dt:

X(t)<a; X(t)+V(t)dt>a                                                            (74.5)

или

a-V(t)dt<X(t)<a (V(t)>0)                                                    (75.5).

Вероятность этого события (выраженного условием (75)):

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                       (76.5),

где p(x,V) - совместная плотность распределения с.ф. X(t) и V(t).

Ввиду близости пределов внутреннего интеграла (его заменили на p(a,V)Vdt - площадь прямоугольника) вероятность выброса:

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                         (77.5).

Если разделить вероятность выброса Qa на время dt, в течение которого он ожидается, получится временная плотность вероятности выброса за уровень а в момент t (среднее число выбросов в единицу времени):

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                             (78.5).

В случае стационарного с.п. X(t) и Y(t) - независимые с.ф. и (при том Выбросы случайной функции за заданный уровень и известна автокорреляционная функция для X(t) - KX(t)), следовательно,

p(x,V)=px(x)×pV(V),                                                              (79.5)

где p(x,V) - совместная плотность распределения X(t) и Y(t); px(x)×и pV(V) - соответственно плотности распределения X(t) и Y(t).

Тогда временная плотность вероятности выброса:

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                        (80.5),

где Выбросы случайной функции за заданный уровень - м.о. положительной скорости V(t).

Для нормального распределения X(t):

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                      (81.5)

распределение скорости V(t) будет также нормальным и независимым от распределения X(t): Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                          (82.5).

М.о. Выбросы случайной функции за заданный уровень вследствие стационарности процесса. По (72) Выбросы случайной функции за заданный уровень.

Подстановка (82) и (81) в (80) даст для временной плотности вероятности выброса

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                   (83.5).

Доказательство (83.5):

Выбросы случайной функции за заданный уровеньВыбросы случайной функции за заданный уровень.

Заменим подынтегральное выражение,

Выбросы случайной функции за заданный уровень,

 тогда

Выбросы случайной функции за заданный уровень,

и тогда Выбросы случайной функции за заданный уровень.

Чем больше уровень а, тем меньше q(a). При очень малом значении q(a) выбросы можно рассматривать как редкие события, т.е. как независимые с.в.

Если число выбросов в течение времени t подчиняется закону Пуассона  (66), тогда вероятность того, что за время T не произойдет ни одного выброса при условии, что X(t) – стационарная функция

Pt=exp                                                                 (84.5)

Это функция надежности.

В случае нестационарной функции

Выбросы случайной функции за заданный уровень                                                                   (85.5).

Поделись с друзьями