Нужна помощь в написании работы?

При последовательном соединении элементов разрушение происходит по наиболее слабому из них. Последовательным соединением элементов может быть названо также любое их соединение, образующее статически определимую систему. (Прочность – случайна, s – напряжение в стержне от фактической определенной нагрузки).

Интегральный закон распределения прочности i-того элемента системы – Pi(s) (т.е. вероятность того, что прочность элемента будет находиться на интервале (-¥,s), т.е. это вероятность разрушения). Вероятность неразрушения равна 1-Pi(s) для i-того элемента. Аналогично для всей системы ее вероятность не разрушения 1-Pc(s), где Pс(s) – интегральное распределение прочности всей системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов. Согласно (3¢/2) и (4/2)

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов                                                             (92.8)

Предполагается, что прочность каждого элемента является независимой с.в. Если все элементы имеют одинаковые распределения своей прочности, выраженной через внешнюю нагрузку (Pi(s)=P1(s)i =1,2,…,n), то вероятность не разрушения

1 - Pc(s) = n                                                       (93.8),

где P1(s) – интегральное распределение прочности каждого элемента.

Распределение плотности вероятности разрушения системы:

pc(s)=nn-1×p1(s)                                                         (94.8),

где p1(s) – плотность распределения прочности каждого элемента.

Если прочность элементов подчиняется распределению Вейбулла (54.4)

P1(s) = 1- exp(-csb)                                                              (95.8),

то подставив (95.8) в (93.8) получим (вероятность разрушения системы)

Pc(s) = 1- exp(-cnsb)=1 - exp(-cyb)                                             (96.8),

где Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов, т.е. распределения Pc(s) и P1(s) различаются лишь масштабом вдоль оси s, который для случайной величины прочности системы Rc в Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов раз меньше, чем для случайной величины прочности элемента R1. Следовательно, в этом отношении изменяются (при переходе от одного элемента к системе последовательно соединенных элементов) и математическое ожидание и стандарт прочности

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов,                    Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов                                          (97.8)

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов

Если стержни системы сделаны из одного материала, но имеют различные поперечные сечения, то формула вероятности неразрушения системы:

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов                                                         (98.8),

где Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов (в каждом стержне свое конкретное напряжение).

Здесь F – внешняя нагрузка;

si – напряжение, вызываемое усилием Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов в i-том стержне;

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов - усилие в i-том элементе от внешней нагрузки F=1; Ai – площадь сечения i-того стержня.

В случае, когда прочность материала подчиняется распределению Вейбулла (54.4), вероятность неразрушения системы (подставим (95.8) в (98.8)):

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов                                  (99.8)

Тогда м.о. и стандарт прочности системы:

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов,              Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов                                             (100.8)

Пример.

Дано: стальная статически определимая ферма. Нагрузка и размеры детерминированы, прочность всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245. Расчетное сопротивление Ry = 240 МПа, матожидание предела текучести Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов МПа, стандарт предела текучести s(Ry) = 20 МПа. Тогда коэффициент вариации предела текучести

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов      (7,7%).

Обычным путем получены усилия, подобраны сечения и найдены напряжения в стержнях фермы. Необходимо найти вероятность неразрушения (надежность) фермы.

Функция распределения прочности элементов:

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов,

где s - напряжение, действующее в стержне.

Значение P(s) – есть вероятность того, что случайный предел текучести Ry будет меньше действующего напряжения s, т.е. вероятность разрушения. Через интеграл вероятности Гаусса: Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов определим вероятности разрушения каждого стержня:

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов;

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов;

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов;

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов;

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов;

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов, Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов.

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов

Элемент

Расчетное усилие, кН

Унифицированное сечение

Площадь А, см2

Напряжение s, МПа

Простейшие модели надежности. Последовательное соединение элементов

Вероятности разрушения

ВП

3-5

-316

2L100x7

25.6

-220.4

228

0.0239

5-7

-316

25.6

-220.4

0.0239

НП

1-4

232.2

2L75x5

14.78

157

0

4-6

313.2

14.78

212

0.0082

Ст.

4-5

-60.81

2L50x5

9.6

-141

0

Рас.

1-3

-313.8

2L90x6

21.2

-221

0.0256

3-4

148.2

2L50x5

9.6

154.3

0

4-7

-30.7

2L63x5

12.26

-104.4

0

Тогда по (93.8) вероятность неразрушения фермы (надежность):

1 - Pc(r) = (1-0.0239)4×(1-0.0082)2×(1-0.0256)2=0.8478.

Ферма обладает такой надежностью в случае действия максимальных нагрузок, вероятность появления которых невелика, поэтому действительная надежность фермы больше. Кроме того, ферма не является в действительности статически определимой системой и появление в стержне напряжения равного пределу текучести не есть еще разрушение этого стержня.

Поделись с друзьями