Статистический характер прочности.  Начальная прочность материалов в строительных нормах

В действующих документах нормативные значения не совпадают с м.о. и сдвинуты по отношению к среднему значению.

                                                     (11.1)(118),

где - м.о. и коэффициент вариации нормативного значения нагрузки;  - то же сопротивления;  - коэффициенты, показывающие какое число стандартов отсчитывается от м.о. при назначении нормативных значений нагрузки и сопротивления.

При коэффициенте изменчивости прочности менее 0,06-0,08 применяется нормальный закон распределения (т.е. не учитываются моменты высших порядков – асимметрия и эксцесс). Более всего это относится к стали, для бетона, каменной кладки, древесины и других материалов с коэффициентом изменчивости 0,15-0,25 и более корректнее использовать более точные законы распределения, учитывающие асимметрию и эксцесс. Например, функция распределения, полученная из распределения Пирсона III типа:

,

где g и b – параметры.

,

асимметрия .

По СНиП II-23-81 ”Стальные конструкции. Нормы проектирования” (приложение 8а, стр. 92) при испытаниях металла нормативное значение предела текучести  или временного сопротивления стали  определяется по результатам статистической обработки:

,

где  — математическое ожидание предела текучести или временного сопротивления;

 — среднеквадратическое отклонение предела текучести или временного сопротивления.

;

(или по (19.3)

,

где .  появляется один раз).

 — вероятность появления возможных значений  предела текучести или временного сопротивления;

 — число испытанных образцов (полная группа несовместных событий);

 — коэффициент, учитывающий объем выборки.

,

при ;

;

;

,

 показывает, на какое число стандартов  сдвинуто нормативное сопротивление по отношению к математическому ожиданию.

Чем больше , тем достовернее полученные результаты, тем меньше  и больше  ( или ).

.

При значении коэффициента вариации (изменчивости) >0.1 использовать результаты, полученные из опытов, не допускается, т. к. они ненадежны. Кроме того, коэффициентом надежности по материалу >1 учитывается разброс (изменчивость в неблагоприятную сторону) найденных нормативных сопротивлений.

Расчетное сопротивление вычисляется по формулам (здесь – для стальных конструкций):                                                                           (по пределу текучести);

или                                                       - по пределу прочности.

Нормативные значения принимаются с обеспеченностью 0.95, т. е. вероятность того, случайное фактическое сопротивление > равна 0.95, т. е.

или, приняв нормальное распределение, через интеграл вероятности Гаусса Ф(х):

.

Определим математическое ожидание предела текучести для стали С235. Примем  (худший вариант), и тогда

МПа при МПа.

При изменчивости МПа.

Определим, насколько сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести  расчетное сопротивление по пределу текучести .

;;МПа; МПа;

МПа;

МПа;

МПа.

Таким образом, расчетное сопротивление сдвинуто влево от математического ожидания предела текучести  на  и вероятность того, что предел текучести будет меньше расчетного сопротивления  равна:

Обеспеченность расчетного сопротивления этой стали равна

.

Нормами строго установлена обеспеченность расчетных сопротивлений только для древесины и древесных пластиков. Она составляет 0,99. Для бетонов, кирпича и других конструкционных материалов нет единой обеспеченности этой важнейшей прочностной характеристики, используемой при проектировании.