Долгосрочное страхование на случай смерти и дожития

Страхование жизни предполагает — по определению — два изначальных риска: дожитие (до какого-либо возраста или события) и смерть, которая рассматривается либо как альтернатива дожитию, либо как дополняющий фактор риска (смешанный тип страхования — на дожитие и на случай смерти одновременно).

Базовыми характеристиками стандартных типов страхования жизни являются тарифы (нетто и брутто) и резервы премий.

Расчет нетто-ставок для страхования жизни (а также пенсий) основывается на двух исходных моделях, характеризующих математическое равенство финансовых обязательств страхователей и страховщика при заключении договоров на дожитие и на случай смерти. В левой части данных моделей приводятся все вероятные и дисконтированные взносы страхователя, а в правой — все вероятные и дисконтированные платежи страховщика. Страхователь платит свои деньги при условии дожития до каждого последующего года, а страховщик — либо при дожитии страхователя, либо в случае наступления его смерти. Каждый платеж соотносится со страховой суммой, принимаемой (условно) за Единицу (т.е. за 1 руб., 1 долл. и т.д.).

Вероятностные значения современной стоимости взаимных платежей страхователя и страховщика при страховании на дожитие определяются из равенства:

1+1pxv…+…n-2pxvn-2+n-1pxvn-1=1pxv+2pxv2…+…n-1pxvn-1+npxvn           (1)

где  - дисконтирующий множитель;

px — вероятность дожития страхователя и соответствующая ей вероятность уплаты денег для каждого из контрагентов в размере 1 денежной единицы (далее — д.е.);

п — количество лет, которые проживает страхователь (от 0 до 100 лет).

Вероятностные значения современной стоимости взаимных платежей страхователя и страховщика при страховании на случай смерти определяются из равенства:

1+1pxv+2pxv2+…+n-2pxvn-1=qxv+1|qxv2+…+n-2|qxvn-1+n-1|qxnn               (2)

где в правой части используются вероятности смерти страхователя и соответствующие им вероятности платежей страховщика в случае смерти страхователя.

На основе данных равенств осуществляется расчет тарифных ставок при страховании на случай смерти.

Вычисление платежей при страховании на дожитие

Определим размер единовременной премии страхователя в возрасте х лет, если при дожитии до х+п лет он должен получить от страховщика 1 д.е. Обозначим размер этой премии символом пЕх. Так как эта премия вносится безусловно, то соответствующая ей вероятность равна единице. Поэтому, если современная стоимость премии равняется пЕх. то соответствующая ей вероятная стоимость платежа страховщика определяется как vn*npx, где , l — число лиц в возрасте х лет. lx+n — число лиц и возрасте х + п лет. Отсюда  —-. Умножив данное отношение на величину , получим видоизмененное равенство, которое преобразуется в формулу

                                        (3)

где показатели Dx, Dx+n — коммутационные числа (табл. 1 и 2).

Таблица 1. Таблица коммутационных чисел

(фрагмент, для числа живущих лиц lx)

Таблица 2. Таблица коммутационных чисел

(фрагмент, для числа умерших лиц dx)

Данные таблицы составлены при процентной ставке i = 3%.

Например, 40 -летнему страхователю по условию договора страховщик обязан выплатить страховую сумму только при дожитии до 45 лет. При ставке 3% единовременная премия, которую застрахованный должен уплатить при заключении договора, равняется:

Число 0,8455 —тарифная ставка для лиц в возрасте 40 лет, страхующихся на дожитие до 45 лет. Ее значение определяется также посредством коммутационных чисел (табл. 1):

Если страховая сумма по данному договору равнялась бы 300 д.е., то страхователь должен внести 254 д.е. (300 • 0,8455).

При единовременном взносе страхователя страховщик может выплачивать по 1 д.е. ежегодно в течение всей жизни застрахованного с момента заключения договора (или- как пенсию — по истечении некоторого времени). В этом случае размер единовременной премии должен соответствовать современной стоимости всех вероятных платежей страховщика, производимых им в конце периода (постнумерандо):

                  (4)

где Nx+1 = Dx+1 + Dx+2 + Dx+з+…- коммутационное число. Оно получается в результате накапливания значений Dx снизу вверх таблицы смертности. Значения Nx для некоторых возрастов приведены в табл. 1.

Например, страхователю 40 лет. то страховщик может выплачивать пожизненно но 1 д.е. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос составит:

При отсрочке пожизненных платежей на n лет и уплате их страховщиком в конце каждого года (постнумерандо) размер единовременного взноса определяется в соответствии с равенством:

Например: Допустим, что страховщик согласен выплачивать страхователю по 1 д.e. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя пять лет.

В этом случае единовременный взнос страхователя, чей возраст 40 лет, должен составить:

По договору страхования страхователь может вносить премии не единовременно, а периодически. Чтобы равенство в ответственности двух сторон по договору не изменилось, современная стоимость вероятных платежей страхователя приводится к единовременному взносу.

Размер периодического взноса определяется по формуле

                                   (5)

где αх – годовые платежи страхователя

ах=Nx/Dx

Числитель и знаменатель данной формулы модифицируется в зависимости от условий выплаты страховой суммы страховщиком.

Например, нетто-ставка для страхователей, чей возраст 40 лет, заключивших договор на дожитие до 45 лет, определяется следующим образом. Размер единовременного взноса страхователя, который заменяется периодическими платежами, равен   Так как по условию договора предполагается, что страхователь будет платить до наступления возраста х + п лет, то при платежах в начале каждого периода (пренумерандо) их современная стоимость составляет разницу между немедленной пожизненной и отсроченной рентой пренумерандо:

Отсюда размер годовой нетто-премии равняется:

По условию примера

Если договор страхования на дожитие заключен на сумму 300 д.е., то размер годовой премии составит 54 д.е.

Вычисление платежей при страховании на случай смерти

Нетто-ставка при страховании на случай смерти также определяется при помощи таблиц коммутационных чисел. Рассмотрим пожизненное и временное страхование на случай смерти. Для лица, возраст которого составляет х лет, вероятность умерен, в течение предстоящего года жизни равна , а вероятность умереть в течение (n+1) лет равняется:

                                (6)

При пожизненном страховании на случай смерти единовременный взнос страхователя должен равняться сумме всех вероятных значений выплат страховщика по их современной стоимости. Формула (7):

                                  (7)

где Мх и Dх - определяются по таблице коммутационных чисел (таб. 1 и 2).

Например, размер нетто-премии при пожизненном страховании на случаи смерти лиц в возрасте 40 лет равняется  Если договор на случай смерти заключен в сумме 1000 д.е., то единовременная нетто-премия составит 370 д.е. Когда бы смерть страхователя ни последовала, страховщик выплатит 1000 д.е.

Для того чтобы воспрепятствовать вступлению в договор лиц с ослабленным здоровьем (т.е. повышенной смертностью в первые годы после заключения договора), выплату страховых сумм в случае смертности застрахованных можно отодвинуть на какое-либо число лет с момента заключения договора. В силу этого отсчет коммутационного числа Л/, также отодвигается на время рассрочки, и вычисление единовременной нетто-премии производится по формуле

                              (8)

При пожизненном страховании на случай смерти годовая нетто-премия равняется:

                    (9)

При отсроченном страховании нетто-премия, выплачиваемая раз в один год. равняется:

                   (10)

Если страхование временное, то годовая нетто-ставка определяется как:

                (11)