Координатное и импульсное представления.

Используя спектральное разложение единичного оператора показать, что след матрицы произвольного оператора в дискретном базисе является инвариантом унитарного преобразования.

Решение.

Унитарное преобразование:

(1).

Спектральное разложение единичного оператора:

(2).

След матрицы оператора :

(3).

Требуется показать выполнение следующего равенства:

Преобразуем правую часть этого часть:

что и требовалось показать.

Показать, что след произведения двух квадратных матриц инвариантен относительно перестановки сомножителей.

Решение.

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Требуется показать выполнение следующего равенства:

Введём следующие обозначения:

и .

По определению следа матрицы произвольного оператора:

а матрица оператора с учётом нашего обозначения:

Производя подстановку матрицы оператора в определение следа, получаем:

что и требовалось показать.

Показать, что среднее значение наблюдаемой L в состоянии, описываемом нормированным кет-вектором , может быть представлено в виде:

Решение.

По определению среднее значение наблюдаемой L:

Если же состояние описывается нормированным кет-вектором, то:

Таким образом, нужно показать следующее равенство:

Рассмотрим отдельно представителя оператора :

Сумма диагональных элементов матрицы оператора :

Сумма диагональных элементов произведения матриц операторов и :

Таким образом: и , что и требовалось показать.

Показать, что условие эрмитовости произвольного оператора в координатном представлении имеет вид:

Решение.

Условие эрмитовости выглядит следующим образом:

Для непрерывного спектра справедливы следующие выражения:

, , .

Также учтём некоторые выражения:

и .

Выполним преобразование следующего выражения с учётом выражений для непрерывного спектра:

В результате преобразования получилось выражение:

Аналогичным образом получается следующее выражение:

Справедливо равенство: . С его учетом получаем:

Таким образом, было показано, что:

Используя условие эрмитовости произвольного оператора в координатном представлении показать, что оператор импульса в координатном представлении является эрмитовым на множестве квадратично интегрируемых функций , т.е. функций, удовлетворяющих условиям:

<, .

Решение.

Оператор импульса в координатном представлении имеет вид:

Распишем условие эрмитовости для оператора импульса в координатном представлении:

Первая часть интеграла равна нулю, так как . Рассмотрим вторую часть:

Таким образом, было показано выполнение равенства:

Показать, что среднее значение результатов измерения наблюдаемой L в произвольный момент времени t не зависит от способа описания временной эволюции квантовой системы, т.е. от выбора картины Гейзенберга или Шредингера.

Решение.

Условие унитарности оператора эволюции:

Также необходимо учесть, что:

(1),

(2) и

(3).

В картине Шредингера зависимость средних значений физических величин L от времени t возникает через временную зависимость векторов состояния , причём: .

В картине Гейзенберга зависимость средних значений физических величин L от времени t определяется временной зависимостью операторов , причём: .

Таким образом, требуется проверить выполнение равенства:

Преобразуем правую часть следующим образом:

В итоге получили , что и требовалось показать.

Доказать теорему Неймана: показать, что, если гамильтониан является функцией вещественного параметра λ, то среднее значение его производной по параметру λ в стационарном состоянии с энергией равняется производной этой энергии по параметру λ.