Для решения этих задач необходимо решить стационарное уравнение Шредингера, которое в координатном представлении выглядит следующим образом:
.
Поскольку здесь потенциальная энергия 
является разрывной функцией, это уравнение необходимо решить для каждой из областей в отдельности. Решениями будут функции, описывающие состояние частицы в этих областях, которые обозначим через 
. Для них в соответствии со свойством непрерывности Ψ-функции и её первой производной Ψ' по координате 
на границе области, где происходит конечный скачок функции , напишем следующие граничные условия в случае с тремя областями:
и 
, где 
- длина барьера или потенциальной ямы.
3.1. Частица с массой 
находится в однородной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины, где потенциальная энергия имеет вид:
Показать, что при условии 
её энергетический спектр дискретный.
Решение.
В нашем случае стационарное уравнение Шредингера перепишется следующим образом:
Для областей I и III: 
;
Для области II: 
.
Решением дифференциального уравнения (1) является волновая функция 
. Подставляя это решение в (1) получаем:
,
а значит для областей I и III волновая функция примет следующий вид:
.
Решением дифференциального уравнения (2) является волновая функция 
. Подставляя это решение в (2) получаем:
,
а значит для области II волновая функция примет следующий вид:
.
Так же, это решение представимо в виде:
Решения уравнения (1) содержат экспоненты с вещественными показателями, которые неограниченно возрастают, когда стремится к бесконечности (
), причём волновая функция должна быть конечной при любых значениях , поэтому необходимо принять константы 
и 
равными нулю. Вследствие этого получим:
I: 
, и 
,
II: , и 
,
III: 
, и 
.
Учитывая граничные условия, перепишем эти уравнения в следующем виде:
и 
.
Умножим (1) уравнение на 
и вычтем из него (2), а уравнение (3) умножим на 
и вычтем из него (4):
и 
Выразим из (5) 
и подставим его в (6):
.
Подставим выражения для 
и для в формулу для тангенса и преобразуем её с учётом того, что :
Так как , то выражение, стоящее в правой части близко к нулю и справедливо следующее преобразование:
.
Таким образом, энергетический спектр данной частицы дискретный и пропорционален 
.
Найти значение энергии частицы с массой , находящейся в основном состоянии и обладающей потенциальной энергией 
, зная вид собственной функции, которая описывает это состояние.
Подсказка: собственную функцию взять в следующем виде: 
(1).
Решение.
Справедливо следующее свойство равенства:
(2).
Перепишем стационарное уравнение Шредингера следующим образом:
(3).
Возьмём вторую производную от Ψ-функции (1):
Далее подставим выражения для 
, 
и 
в уравнение (3) и проводим некоторые преобразования:
По свойству (2) получим некоторое равенство, из которого выразим энергию:
, что и требовалось найти.
Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной 
. Определить отношение вероятностей обнаружения частицы в середине ямы и на расстоянии 
от края ямы. Вычисления провести для первого, второго и третьего стационарных состояний.
Решение.
Частица с массой и энергией 
падает на прямоугольную потенциальную ступень:
а) определить коэффициенты отражения и прозрачности для случая, когда 
;
б) определить коэффициент отражения для случая, когда 
.
Решение.
а) Рассмотрим случай, когда , где требуется найти коэффициенты отражения и прозрачности, которые определяются по формулам соответственно:
и 
.
В этом случае стационарное уравнение Шредингера для областей I и II перепишется в следующем виде:
I: 
,
II: 
.
Решением дифференциального уравнения (1) является волновая функция . Подставляя это решение в (1) получаем:
,
а значит для области I волновая функция примет следующий вид:
.
Решением дифференциального уравнения (2) является волновая функция . Подставляя это решение в (2) получаем:
,
а значит для области II волновая функция примет следующий вид:
.
Так как в области II присутствует только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся в положительном направлении оси ОХ, то необходимо положить равным нулю коэффициент 
. Вследствие этого получим:
I: и 
II: 
и 
.
С учётом граничных условий получим систему коэффициентов:
.
Отсюда найдём отношение коэффициентов и 
:
.
Подставляем 
во второе уравнение и находим 
:
.
Находим коэффициент отражения: 
, а коэффициент прозрачности:
Таким образом: 
и 
, где 
- что и требовалось найти.
б) Рассмотрим случай, когда , где требуется найти коэффициент отражения, который определяется по формуле:
.
В этом случае стационарное уравнение Шредингера для областей I и II перепишется в следующем виде:
I: ,
II: 
.
Решением дифференциального уравнения (1) является волновая функция . Подставляя это решение в (1) получаем:
,
а значит для области I волновая функция примет следующий вид:
.
Решением дифференциального уравнения (2) является волновая функция . Подставляя это решение в (2) получаем:
,
а значит для области II волновая функция примет следующий вид:
.
Решение уравнения (2) содержит экспоненты с вещественными показателями, которые неограниченно возрастают, когда стремится к бесконечности (), причём волновая функция должна быть конечной при любых значениях , поэтому необходимо принять константу равную нулю. Вследствие этого получим:
I: и
II: 
и 
С учётом граничных условий получим систему коэффициентов:
.
Отсюда найдём отношение коэффициентов и :
Подставляем 
во второе уравнение и находим :
Таким образом, получили: 
- что и требовалось найти.
Электрон с энергией 
падает на потенциальный барьер, высота которого 
, а ширина - 5Ǻ. Определить коэффициент прозрачности барьера.
Решение.
В этом случае полная энергия электрона больше, чем высота барьера, значит необходимо рассматривать случай, когда . Тогда стационарное уравнение Шредингера перепишется следующим образом:
Для областей I и III: 
;
Для области II: .
Решением дифференциального уравнения (1) является волновая функция . Подставляя это решение в (1) получаем:
,
а значит для областей I и III волновая функция примет следующий вид:
.
Решением дифференциального уравнения (2) является волновая функция . Подставляя это решение в (2) получаем:
,
а значит для области II волновая функция примет следующий вид: .
Так как в области III присутствует только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся в положительном направлении оси ОХ, то необходимо положить равным нулю коэффициент 
. Вследствие этого получим:
I: и
II: и 
III: 
и 
С учётом граничных условий получим систему коэффициентов:
и 
.
Введём некоторые обозначения: 
Перепишем системы (3) и (4) с учётом переобозначения:
и 
.
Коэффициент прозрачности определяется формулой:
.
Для нахождения коэффициента прозрачности проведём некоторые преобразования:
и 
Из уравнения (6) выразим коэффициент 
:
,
а далее подставим его в уравнение (5):
Выразим из полученного выражения коэффициент 
:
, а далее подставим это выражение в :
Подставим выражения для и в выражение 
:
Таким образом, получили:
, где - что и требовалось найти.
Интегрируя стационарное уравнение Шредингера в импульсном представлении, найти значение энергии и волновую функцию частицы, движущейся в однородном силовом поле, где потенциальная энергия меняется по закону 
.
Решение.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему