Приложение 3 по методике преподавания - Симметрические многочлены в профильном обучении школьников

Теорема. Любой симметрический многочлен от х, у, z  можно представить в виде многочлена от ,,.

Покажем, что любая степенная сумма sk может быть выражена через элементарные симметрические многочлены .Рассмотрим более сложные симметрические многочлены, каждый из которых получается из некоторого одночлена всевозможными перестановками переменных и суммированием получившихся результатов. Такие симметрические многочлены будем называть орбитами соответствующих одночленов. Мы покажем, что каждая орбита выражается через степенные суммы, а значит, в конечном итоге, через. Наконец, будет установлено, что всякий симметрический многочлен представляется в виде суммы орбит.

 Из этого и вытекает справедливость сформулированной теоремы.

   Докажем, каждую степенную сумму sk =  xk+yk+ zk можно представить в виде многочлена от, , .

 (3)

Эту формулу  не будем «выводить», а прямо проверим. Подставляя в правую часть соотношения (3) вместо величин , а также , ,  их выражения

через х, у, z и производя очевидные преобразования, получаем:

-(xy+xz+yz)(xk-2+yk-2+zk-2)+xyz(xk-3+yk-3+zk-3)=

=(xk+yk+zk+xyk-1+xk-1y+xzk-1+xk-1z+yzk-1+yk-1z)-

-(xk-1y+ xyk-1+ xk-1y+xzk-1+ yk-1z+yzk-1+ xyzk-2+ xyk-2z+ xk-2yz)+

+( xk-2yz+ xyk-2z+ xyzk-2)= xk+yk+ zk= sk.

 Таким образом, правильность формулы (3) проверена.

Из этой формулы и вытекает справедливость  утверждения.

 В самом деле, легко видеть, что степенные суммы s0, s1, s2  выражаются через , , .

s0=х0+у 0+z0=1+1 +1=3;

s1=x+y+z=;

s2=x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=

После этого формула (3) позволяет последовательно находить выражения следующих степенных сумм через 1, 2, : сначала s3, затем s4, s5 и т. д.Таким о6разом,  утверждение доказано.

Орбиты одночленов. Покажем, что симметрические многочлены значительно более широкого класса - так называемые орбиты одночленов - выражаются через степенные суммы, а значит, в конечном итоге, через , , .
         Существуют одночлены, не меняющиеся при перестановках переменных, т. е. симметрические. В такой одночлен все переменные должны входить в одной и той же степени, т. е. этот одночлен должен совпадать с произведением xkykzk (взятым с некоторым числовым  коэффициентом).

Если же среди показателей одночлена xkylzm имеются различные, то этот одночлен уже не будет симметрическим. Чтобы получить симметрический многочлен, одним из слагаемых которого является одночлен xkylzm, надо добавить к нему другие одночлены.

Определение Многочлен с наименьшим числом членов, одним из слагаемых которого является одночлен xkylzm, назовем орбитой этого одночлена и обозначим через О (xkylzm )..

Ясно, что для получения орбиты одночлена  xkylzm  надо прибавить к нему одночлены, получающиеся перестановкой  переменных  х, у, z. Если все три показателя k,l,m, различны, то орбита О(xkylzm)  будет содержать шесть членов, получающихся из одночлена  xkylzm перестановками переменных.

Если же в одночлене xkylzm два показателя совпадают, а третий отличен от них, скажем k=l (km), то перестановка  переменных x, y не меняет одночлена xkykzm. В этом случае орбита содержит только три члена: О(xkykzm)= xkykzm+xkymzk+xmykzk   (km).

Частными случаями таких орбит являются степенные суммы:

0(xk) = O(хkу0х0) = xk+yk+ zk= sk.

Наконец, если k= l= т, то орбита является одночленов:

О(xkykzk)= xkykzk

Мы покажем теперь, что орбита любого одночлена выражается через  и степенные суммы. А так как любая степенная сумма выражается через, , , то отсюда будет следовать, что орбита любого одночлена выражается через  , , .

Если одночлен xkylzm зависит только от одного переменного x (т.е. l=m=0), утверждение очевидно: в этом случае орбита O(xk)=sk сама является степенной суммой.

 Перейдем к случаю, когда одночлен зависит от двух переменных, т.е. имеет вид  xkyl. Если   kl, то имеет место формула

 O(xkyl) =O(xk)O(xl)-O(xk+l), (kl)        (*)

В самом деле, 

O(xk)O(xl)-O(xk+l)= (xk+yk+ zk)( xl+yl+ zl)-( xk+l+yk+l+ zk+l)=

=( xk+l+yk+l+ zk+l+xkyl+xlyk+xkzl+ xlzk+ykzl+ylzk)-( xk+l+yk+l+ zk+l)= xkyl+xlyk+xkzl+ +xlzk+ykzl+ylzk= O(xkyl).

Если же k=l, то формула (*) надо заменить следующей:

                             O(xkyl)=.

Наконец, если одночлен xkylzm зависит от трех переменных  xyz, то xkylzm делится на некоторую степень одночлена xyz.Поэтому в многочлене O(xkylzm) можно вынести за скобку некоторую степень одночлена xyz, после чего останется в скобках орбита некоторого одночлена, зависящего меньше чем от трех переменных x,y,z.

Видим, что действительно любая орбита любого одночлена выражается через  и степенные суммы. Теперь нетрудно завершить доказательство теоремы.

Пусть f(x,y,z) – симметрический многочлен и пусть axkylzm-  одно из его слагаемых. В силу симметричности многочлена   f(x,y,z), он содержит вместе с этим слагаемым и всю орбиту  O(xkylzm), взятую с коэффициентом a. Таким образом, f(x,y,z)= a O(xkylzm)+f1(x,y,z), где f1(x,y,z)-некоторый многочлен, который, очевидно, симметричен и содержит меньше членов, чем  f(x,y,z). Из f1(x,y,z)  можно также выделить орбиту одного из члена и т.д. После конечного числа шагов мы разложим многочлен f(x,y,z) на сумму орбит отдельных одночленов.

  Итак, любой симметрический многочлен  f(x,y,z) есть сумма конечно числа орбит одночленов. А так как каждая орбита, в силу доказанного выше, выражается через, то и любой симметрический многочлен может быть выражен через. Основная теорема полностью доказана.