Приложение 7 по методике преподавания - Симметрические многочлены в профильном обучении школьников

Задание 4. Решить систему уравнений.

d)   

Решение. Введем новые неизвестные ,,, положим

Или

Из этой системы находим:

В развернутом виде эта система запишется так:

Для решения этой системы составляем согласно теореме  кубическое уравнение

Левая часть уравнения разлагается на множители:

.

Следовательно, корнями этого уравнения являются числа

,  .

Поэтому исходная система шесть решений получающихся перестановками из решения

, .

Задание 2. Решить систему уравнений

Положим  Тогда система уравнений принимает симметрический вид

Такую систему мы уже решали (см. предыдущее задание). Там было найдено, что одним из решений является

 ,  ,                                                                

а остальные пять решений получаются перестановками значений неизвестных  Поэтому для первоначальных  неизвестных мы получаем следующие шесть решений:

1)    ,  ;

2)    ,  ;

3)    ,  ;

4)    ,  ;

5)    ,  ;

6)    ,  ;