Приложение 8 по методике преподавания - Симметрические многочлены в профильном обучении школьников

Задание 5. Решить уравнение

a) Решение. Это возвратное уравнение имеет нечетную степень. Согласно теореме 3 его левая часть делится на z+1. Осуществляя деление, находим:

= =.

Таким образом, уравнение разбивается на два:

z+1=0

=0

Первое из этих уравнений дает корень . Второе представляет собой возвратное уравнение четной степени. Преобразуем его левую часть:

=

=

=

Так как  не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к следующему уравнению относительно :

Следовательно, мы имеем корень  и еще четыре корня, которые легко найти, решая биквадратное уравнение

В результате находим пять значений для  :

,   .

Это означает, что для нахождения корней первоначального уравнения имеем пять уравнений:

,,,.

Решая их и учитывая найденный ранее найденный корень , получим одиннадцать корней исходного уравнения:

b)    Решение. Это возвратное уравнение имеет  четную степень. Согласно теореме его левая часть представима следующим образом:

 +9=

Так как   не является корнем исходного уравнения, то мы приходим к кубическому уравнению относительно :

Левую часть легко разложить на множители:

(можно было также подбором найти корень  и затем применить теорему Безу). Теперь легко находим три корня:

,

Решая их, находим шесть корней первоначального уравнения:

c)    Решение. Имеем

Получаем двучленное уравнение =0. Его корни:

Для нахождения корней первоначального уравнения имеем четыре уравнения:

,, .

Решая их находим восемь корней первоначального уравнения:

,     

,,,, , ,, ,.