Нужна помощь в написании работы?

Теорема 3. Всякий возвратный многочлен  четной степени 2k представляется в виде f(z)=, где и - некоторый многочлен степени k от.

Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.

Доказательство. 1) Рассмотрим сначала многочлен  четной степени 2k. Вынося в этом многочлене за скобки , получим:

или принимая во внимание равенство

Докажем, что двучлены   можно выразить через . Положим , то степенная сумма  превратится в выражение  элементарный симметрический многочлен - в , а элементарный симметрический многочлен  примет значение 1. Поэтому, подставляя в выражение степенной суммы  через  и  значения  , мы получим искомое выражение двучлена  через .

Практически для этого удобно использовать формулы из таб. 1 Приложения 1. Пологая в этих формулах  , получаем:

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

 

………………………………………………………

2)Рассмотрим теперь случай возвратного многочлена нечетной степени 2k+1:

Так как этот многочлен является возвратным, т.е. выполнены равенства   …,

то его можно записать в следующем виде:

В каждом двучлене, стоящем в скобках, можно выделить множитель z+1, воспользовавшись следующим хорошо известным равенством:

Мы получим:

……………………………………………………………………………….

Складывая полученные выражения почленно и вынося в правой части множитель z+1 мы получим:

где - многочлен, являющийся суммой следующих многочленов:

………………………….

Непосредственно видно, что во всех этих многочленах коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, и потому их сумма  является возвратным многочленом (четной степени 2k). Теорема доказана.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями