Теорема 3. Всякий возвратный многочлен 
четной степени 2k
представляется в виде f(z)=
, где 
и 
- некоторый многочлен степени k от
.
Всякий возвратный многочлен f(z) нечетной степени делится на z+1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала многочлен 
четной степени 2k. Вынося в этом многочлене за скобки 
, получим:
или принимая во внимание равенство 
Докажем, что двучлены 
можно выразить через 
. Положим 
, то степенная сумма 
превратится в выражение элементарный симметрический многочлен 
- в , а элементарный симметрический многочлен 
примет значение 1. Поэтому, подставляя в выражение степенной суммы 
через 
и 
значения 
, мы получим искомое выражение двучлена 
через 
.
Практически для этого удобно использовать формулы из таб. 1 Приложения 1. Пологая в этих формулах 
, получаем:
………………………………………………………
2)Рассмотрим теперь случай возвратного многочлена нечетной степени 2k+1:
Так как этот многочлен является возвратным, т.е. выполнены равенства 
…,
то его можно записать в следующем виде:
В каждом двучлене, стоящем в скобках, можно выделить множитель z+1, воспользовавшись следующим хорошо известным равенством:
Мы получим:
……………………………………………………………………………….
Складывая полученные выражения почленно и вынося в правой части множитель z+1 мы получим:
где 
- многочлен, являющийся суммой следующих многочленов:
………………………….
Непосредственно видно, что во всех этих многочленах коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, и потому их сумма является возвратным многочленом (четной степени 2k). Теорема доказана.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему