Сравнение 2-х регрессий. Тест Чоу.

Пусть момент (период) времени t* сопровождается значительными изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель уt. Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации. Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо; то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессий, т. е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени t* и после) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии (на рис. этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)).

Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда yt, то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (прямая (3)).

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные и отрицательные стороны. При построении кусочно-линейной модели происходит снижение остаточной суммы квадратов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели.

Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соотношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии к кусочно-линейной модели.

Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

Тест ЧОУ предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики которых изображены на рис. прямыми (1), (2) и (3).

Выдвинем гипотезу о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда.

Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели (Cкл ост) можно найти как сумму С1ост и С2ост:

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

(n1-k1)+(n2-k2)=(n-k1-k2)

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом: изм Сост=С3ост-Скл ост

Число степеней свободы, соответствующее изм Сост, будет равно:

n-k3-(n-k1-k2)=k1+k2-k3

Далее определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F факт=ДизмС/Дкл=(измСост:(k1+k2-k3))/(Скл ост:(n-k1-k2)

Если Fфакт>Fтабл, то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. Выбираем кусочно-линейную модель.

Если Fфакт<Fтабл, то нет оснований отклонять гипотезу о структурной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравнения тренда.

Особенности применения теста Чоу:

1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2), (3) (см. рис. и табл. 5) одинаково и равно, то формула  упрощается: Fфакт=(измСост:k)/(Cкл ост:(n-2k))

2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Если Fфакт<Fтабл  это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их параметров а1 и а2, а также b1 и b2 соответственно статистически незначимы. Если Fфакт>Fтабл гипотеза о структурной стабильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий оценок параметров уравнений (1) и (2).

3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпосылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и независимость их распределений.