Модели Ш. Алмон.

Модели с распределенным лагом. Общий вид:

Yt=a+b0*xt+b1*xt-1+…+bp*xt-p+Er

Эта модель показывает, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной х, то это изменение будет влиять на значение переменной у в течение l следующих моментов времени.

Лаги, структуру которых можно описать с помощью полиномов, называют лагами Алмон. Предположим, что в модели – полиноминальная структура лага, т.е. зависимость коэффициентов регрессии bi от величины лага описывается полиномом k–той степени.

Формально модель зависимости коэффициентов bj от величины лага  j в форме полинома можно записать так: 

Для полинома 1й степени  bj=c0+c1j

Для полинома 2й степени  bj=c0+c1j+c2j^2

Для полинома 3й степени   bj=c0+c1j+c2j^2+c3j^3

В наиболее общем виде для полинома k-й степени имеем:

bj=c0+c1j+c2j^2+…+ckj^k

Тогда каждый из коэффициентов модели можно выразить: (1)

b0=c0; b1=c0+c1+…+ck; b2=c0+2c1+4c2+…+2^k*ck; b3=c0+3c1+9c2+…+3^k*ck;

…bl=c0+lc1+l^2c2+…+c^k*ck       

Подставляем в общим вид модели найденные соотношения, перегруппировываем слагаемые и обозначаем слагаемые в скобках перед Ci как новые переменные: (2)

z0=xt+x t-1+x t-2+ …+x t-l=∑(от j=o до l) x t-j

z1=xt-1+2x t-2+3x t-3+ …+l*x t-l=∑(от j=1 до l) j*x t-j

z2=xt-1+4x t-2+9x t-3+ …+l^2*x t-l=∑(от j=1 до l) j^2*x t-j

……….

zk=xt-1+2^k*x t-2+3^k*x t-3+ …+l^k*x t-l=∑(от j=1 до l) j^k*x t-j

Перепишем модель с учетом полученных соотношений: (3)

yt=a+c0*z0+c1*z1+c2*z2+…+ck*zk+Er

Процедура применения для расчетов параметров модели с распределенным лагом:

1.                 Определяется максимальная величина лага

2.                 Определяется степень полинома k, описывающего структуру лага

3.                 по соотношениям  (2) рассчитываются значения переменных

4.                 определяются параметры уравнения линейной регрессии (3)

5.                 по (1) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Проблемы:

1.                 величина лага l должна быть известна заранее. Если выбрать меньший лаг, чем реальный, то в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат . Если выбрать больший, то в модель включится статистически незначимый фактор. Величина лага определяется измерением тесноты связи между результатом и лаговым значением фактора.

2.                 Необходимо установить степень полинома k. Она должна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Определяется сравнением моделей, построенных для различных значений К, выбирается наилучшая модель.

3.                 переменные зет будут коррелировать между собой, когда наблюдается высокая связь между самими исходными переменными.

Преимущества:

1.                 универсален, может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов.

2.                 При относительно небольшом кол-ве переменных в (3) (обычно выбирают к=2 или к=3), которое не приводит к потере  значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.