Проверка адекватности моделей.

Важным этапом прогнозирования социально-экономических процессов является проверка адекватности (соответствия) модели реальному явлению. Для ее осуществления исследуют ряд остатков , то есть отклонений расчетных значений от фактических. Если модель выбрана правильно, то для остатков характерны:

1. случайный характер значений. Проверяется с помощью критерия поворотных точек;

2.      отсутствие автокорреляции (самозависимости). Остатки должны быть независимыми друг от друга. Проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона;

3.      нормальный закон распределения. Проверяется с помощью R/S – критерия;

4.      математическое ожидание остатков должно быть равно нулю и дисперсия остатков должна быть неизменна во времени. Проверяется с помощью t– критерия Стьюдента

Рассмотрим перечисленные требования подробнее.

1.             Для проверки условия случайности возникновения отдельных отклонений от модели часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Уровень последовательности Ei считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. Ei -1 < Ei > Ei +1 и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. Ei -1 > Ei < Ei +1. В обоих случаях Ei считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности Ei обозначим через p.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота p и дисперсия s2p выражаются формулами:

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства , где квадратные скобки означают целую часть числа. Если неравенство выполняется, то с вероятностью 95% делаем вывод о случайном характере ряда остатков. Если это неравенство не выполняется, модель считается неадекватной.

2.             Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Необходимо вычислить расчетное значение , где Еi – i- тый уровень остаточной последовательности (i=1..9). Теоретическое обоснование применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них расположены в хронологическом порядке.

Значение d может располагаться в пределах от 0 до 4. При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2. При полной автокорреляции – 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по этому критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу об отсутствия автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения для этих границ при 5% уровне значимости приведены в Приложении 2. При сравнении расчетного значения d  с табличным могут возникнуть следующие ситуации:

-        d2<d<2 – ряд остатков не коррелирован;

-        d<d1 – остатки содержат автокорреляцию;

-        d1<d<d2 – область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Необходимо применять другой критерий;

-        d>2, то это свидетельствует об отрицательной связи, и его надо преобразовать по формуле d' = 4-d и посмотреть, в какой из трех первых интервалов попадает значение d'.

Установив наличие автокорреляции остатков, надо улучшать модель.

Если же ситуация оказалась неопределенной (d1<d<d2), применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции: . Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду расчетное значение коэффициента r1  сравнивают с критическим для 5%-го уровня значимости (в нашем случае можно взять в качестве rкрит = 0,36). Если │r1│ меньше критического значения, то делается вывод об отсутствии автокорреляции в ряду остатков. Если │r1│ больше

3.             Проверка гипотезы о нормальном распределении остаточной последовательности по R/SE – критерию. В нашем случае R = Emax ‑ Emin, где Emax и Emin соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков; . Вычисленное значение R/SE-критерия сравнивается с критическими нижней и верхней границами данного отношения. Критические границы приведены в Приложении 3. Если значение R/SE попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о том, что остаточная последовательность распределена по нормальному закону, принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается.

4.             Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания случайной компоненты нулю на основе t ‑ критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой  где  — среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности Et; SE — стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности. Если расчетное значение t меньше критического значения ta,v статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости a и числом степеней свободы v=n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной. Для получения критического значения ta,v воспользуйтесь статистической функцией Excel CTЬЮДРАСПРОБР(a;v);

Если ВСЕ четыре вышеперечисленные критерии дают положительный ответ, делается вывод о том, что выбранная модель является адекватной реальному ряду экономической динамики. Только в этом случае ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае модель надо улучшать.