Неметрическое шкалирование. Схема алгоритма Каскала.

Рассмотрим один из известных алгоритмов неметрического многомерного шкалирования, предложенный Дж. Краскалом. Пусть  – оценки координат, где i – номер точки; k – номер координаты;  – оценка расстояний по -метрике;  – ранговые образы расстояний, иначе отклонения. Эти величины должны соответствовать, насколько это возможно, оценкам расстояний, но с сохранением условия монотонности: .                              (12.1)

Для оценки степени расхождения вводят меру соответствия (S-стресс):

либо , где – среднее арифметическое оцененных расстояний.

Наряду с S-стрессом используется SS-стресс, где в числителе оценки расстояний и отклонения заменены их квадратами. SS-стресс обеспечивает более быструю сходимость, если матрица различий симметрична.

Алгоритм Краскала состоит из пяти основных этапов:

1) формирование стартовой конфигурации, то есть получение начальных оценок координат (размерность пространства предполагается известной);

2) стандартизация расстояний и оценок координат;

3) неметрический этап, в ходе которого вычисляются отклонения;

4) метрический этап: перерасчет оценок координат;

5) подсчет меры соответствия.

Если мера улучшилась, то возвращаются к этапу 2; в противном случае  работа алгоритма завершается.

Рассмотрим перечисленные этапы подробнее. Стартовая конфигурация строится по методу Торгерсона (ортогональное проектирование). Затем по координатам найденных точек вычисляется матрица расстояний с элементами    .

На втором этапе в ходе первой итерации текущие расстояния и координаты – те, которые получены из стартовой конфигурации. Для всех итераций, кроме первой, в качестве текущего расстояния и оценок используются те, что были получены на метрическом этапе предыдущей итерации.

Стандартизация оценок расстояний и координат состоит в делении их на сумму квадратов . Очевидно, подобное преобразование делает сумму квадратов расстояний равной единице, что снижает вероятность получения вырожденного решения и упрощает вычисления, особенно при использовании S1-стресса, выражение для которого приобретает вид    .                                 (12.2)