Распределение атомов идеального газа в пространстве квантовых состояний. Распределения Ферми и Бозе

Рассмотрим теперь идеальный квантовый газ, в котором нет взаимодействия между частицами. Рассмотрим пространство квантовых чисел K. Обозначим через  число атомов, квантовые числа которых  равны K, то есть:

,

где –случайная функция в пространстве квантовых чисел. Для системы с заданным числом частиц, находящейся в термостате, распределение  определяется квантовым каноническим распределением Гиббса. Перепишем его в другом виде (используя ). Для идеального газа энергия  равна сумме энергий отдельных атомов: .

С другой стороны можно записать: .

Переходя к потенциалу (большой термодинамический потенциал) запишем распределение Гиббса в виде:

,

; .

Z представим в виде:

                (*)

и перейдем к суммированию по Nk.       

Соответственно:

, .

Тогда можно ввести функцию распределения по числам частиц на уровне k:

,

.

С помощью этой функции получим искомое выражение для – среднего числа частиц в квантовом состоянии К:

.

Используя определение , можно записать:

.                                           (**)

– это условие позволяет установить при заданных  связь  с :

.

Распределения Бозе и Ферми

Системы частиц с целым спином называются системами Бозе (статистика Бозе). Для таких систем числа заполнения  состояний К могут быть произвольными:

.

При этом условии сумма по в выражении для  (*) представляет из себя геометрическую прогрессию, тогда:

.

Дифференцируем по  (**) и получим

– распределение Бозе (Бозе – Эйнштейна).

Такое распределение впервые было предложено Шатьендранатом Бозе для фотонов, Эйнштейн же обобщил его на произвольные системы частиц с целым спином.

Частицы с полуцелым спином удовлетворяют принципу Паули, согласно которому величина  может принимать лишь два значения: .

В этом случае (*) примет вид

,

тогда из (**) получим

– распределение Ферми (Ферми – Дирака).

В случае, когдаформулы Бозе и Ферми сводятся к одной

.

Это ни что иное, как распределение Больцмана.

Можно показать, что это неравенство соответствует другому:

.

При выполнении этого неравенства газ называется невырожденным. В этом случае можно использовать распределения Максвелла и Больцмана. При выполнении обратного неравенства газ называется вырожденным  и для его описания используются распределения Ферми и Бозе.