Нужна помощь в написании работы?

Рис.1.7. К выводу теоремы Гаусса.

                Определим поток напряженности электростатического поля зарядов q1,q2,...qn в вакууме (e=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды.

                Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом R, окружающей один заряд  +q, находящийся в ее центре (рис.1.7).

, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно            . Площадь поверхности сферы равна  . Отсюда следует, что

                      .

Подпись:  
Рис.1.8. Пересечение силовыми линиями поверхности, охватывающей заряд  (показано в сечении). 
Полученный результат будет справедлив и для поверхности S¢ произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий.

                На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватывающая заряд q>0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то входят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью является нечетным.

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

                Как отмечалось в предыдущем параграфе, линии напряженности, выходящие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, создают положительный поток Фе; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Фе. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммарного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности.             

Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то количество силовых линий,  входящих в данную поверхность и выходящих  из нее, одинаково (рис.1.9).  Суммарный поток вектора  через такую поверхность равен нулю: ФЕ=0.

Подпись:  
Рис.1.9. Пересечение силовыми линиями поверхности, не охватывающей заряд  (показано в сечении). 
Рассмотрим самый общий случай поверхности произвольной формы, охватывающей n зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q1,q2,...qn равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора  - результирующей напряженности поля на направление нормали к площадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов  на это направление: ,

отсюда                                           .

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную e0.   Эта формулировка представляет собой теорему К.Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен  и теорему Гаусса следует записать в виде .

                Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

Поделись с друзьями
Добавить в избранное (необходима авторизация)