Стохастические независимые переменные.

В эконометрических исследованиях в качестве значений независимых переменных часто приходится использовать исходные данные, которые нельзя интерпретировать как детерминированные величины, поскольку сами они являются результатами, например, выборочных обследований. Примерами таких переменных являются среднедушевой доход, среднедушевое потребление и т. п. Их значения определяются по некоторой выборке индивидуумов из генеральной совокупности  жителей.

Аналогично, такая ситуация может иметь место, когда в качестве исходных данных модели используется информация, характеризующая случайно выбранные элементы генеральной совокупности. Например, из совокупности мелких предприятий розничной торговли формируется выборка и характеристики отобранных предприятий (доход, заработная плата, объем реализации и т. п.) рассматриваются как значения независимых переменных модели.

В этих случаях значения независимых переменных можно интерпретировать как случайные величины, подчиняющиеся определенному закону распределения (имеется в виду многомерное распределение совокупности  этих величин).

Тогда вектор оценок параметров эконометрической модели, определенный на основе МНК (см. выражение (2.9)), можно интерпретировать как условную оценку, полученную при стохастической матрице наблюдаемых значений независимых факторов Х. С учетом такой трактовки выражение (2.9) может быть представлено в следующем виде:

M=a+(Х¢Х)–1Х¢×M.                      (2.35)

Безусловная оценка вектора параметров модели может быть определена как математическое ожидание условных оценок по всем возможным вариантам матрицы Х. Этот результат обычно записывается следующим образом:

M=MХ=a+MХ,            (2.36)

где MХ  – математическое ожидание по всем наборам переменных хit.

Из выражения (2.36) вытекает, что при “стохастических” независимых переменных оценки параметров эконометрической модели, полученные на основе МНК, могут обладать только свойствами асимптотической несмещенности и эффективности. Иначе говоря, при конечных объемах выборки свойства несмещенности и эффективности для этих оценок не гарантированы.

Существование асимптотических свойств определяется тем обстоятельством, что при увеличении числа исходных данных, выбираемых из однородной совокупности, выборочное среднее должно стремиться к средней по генеральной совокупности, а дисперсия выборочного среднего – к нулю.

С учетом вида выражения (2.36) асимптотическая несмещенность оценок МНК означает, что

(a–a)=MХ®0.           (2.37)

Для выполнения условия (2.37) необходимо, чтобы ошибка модели et  и значения элементов хit матрицы Х, i=0, 1,..., п; t=1, 2,..., Т  обладали при Т®¥ определенными свойствами, аналогичными (2.12) и (2.17). Из (2.36) непосредственно следует, что выражение (2.37) будет иметь место, если

M=M=0, MХ=0,             (2.38)

а также справедливым является предположение (2.25) относительно существования предела матрицы  при Т®¥.

Выражение (2.38) означает, что каждый столбец матрицы Х, представляющий собой вектор значений стохастической переменной хi=¢, и вектор ошибки e независимы между собой, и, кроме того, математическое ожидание ошибки модели равно нулю при всех вариантах выборочных данных.

Асимптотическая матрица ковариаций вектора оценок параметров эконометрической модели со стохастическими независимыми переменными согласно выражению (1.56) может быть определена следующим образом:

asy.var(a)= (a–a)(a–a)¢],       (2.39)

поскольку M=a.

Несложно заметить, что если справедливо следующее условие:

=se2 ×E.                   (2.40)

и выполняются условия (2.38) и (2.25), то выражение (2.39) может быть представлено в следующем виде (см. также (2.18)):

asy.var(a)=

где матрица Q определена выражением (2.25).

Обобщая полученные результаты, отметим, что оценки коэффициентов эконометрической модели со стохастическими независимыми переменными, полученные на основе МНК, являются асимптотически состоятельными и эффективными, если выполняются следующие условия:

=M=0;

=se2 ×E;

e)]=0;                                       (2.42)

 Q.

Заметим, что условия (2.42) являются “предельными” аналогами предположений (2.20)–(2.24), имевших место в случае конечной выборки.

Таким образом, выражение (2.8), являющееся результатом МНК, позволяет получить значения оценок коэффициентов линейной эконометрической модели “хорошего качества” и при детерминированных, и при стохастических значениях независимых переменных, если выполняются определенные предпосылки относительно соответствующих свойств ошибки этой модели и наблюдаемых исходных данных.

Однако априорно проверить справедливость этих предпосылок, как правило, не представляется возможным. Обычно это можно сделать, лишь получив информацию о фактической ошибке модели, после того как она была построена. Фактическая ошибка модели еt   в данном случае может быть рассмотрена как оценка ее истинной ошибки et. Тогда совпадение свойств фактической ошибки с предположениями, выдвигаемыми относительно свойств истинной ошибки, может являться достаточно “веской гарантией” обоснованности использования “классического” МНК в качестве метода оценки параметров модели.

Для определения свойств фактической ошибки еt  могут быть использованы специальные тесты и процедуры, рассмотренные, как в разделе (1.4) (см. тест Дарбина-Уотсона), так и в следующем параграфе данной главы.