Коэффициенты регрессии и уравнение регрессии

Сдвиг, или постоянный член, а, и коэффициенты регрессии, b1, b2, и b3, вычисляются компьютером с использованием метода наименьших квадратов.

Среди всех возможных вариантов уравнения регрессии с различными значениями этих коэффициентов именно уравнение, найденное таким методом, обеспечивает минимальную сумму квадратов ошибок прогнозирования для рассматриваемой нами выборки журналов. Уравнение регрессии (или уравнение прогнозирования) имеет следующий вид:

(прогнозируемый тариф на размещение рекламы) = а + b1X1 + b2X2 + b3X3 =

= $4043 + 3,79(читательская аудитория) – 124(процент мужчин) + 0,903(медиана дохода).

Сдвиг, а = $4 043, интерпретируется следующим образом: типичный тариф на размещение одностраничного цветного рекламного объявления в журнале, у которого нет платных подписчиков, нет мужчин среди читателей и читатели не имеют дохода, составляет $4043. Однако в рассматриваемой нами совокупности данных нет подобных журналов, поэтому сдвиг, а, следует рассматривать лишь как вспомогательную величину, необходимую для получения оптимальных прогнозов, но не интерпретировать это значение так буквально.

Коэффициенты регрессии интерпретируются как влияние каждой из переменных на размер тарифа, если все другие независимые («объясняющие») переменные остаются неизменными. Часто это значение включает «поправку на» другие независимые переменные, или «контролирование» этих других независимых переменных. Поэтому коэффициент регрессии для конкретной X-переменной может изменяться (иногда значительно) в результате включения в анализ или исключения других Х- переменных. В частности, каждый коэффициент регрессии определяет среднее увеличение тарифа на размещение рекламы, приходящееся на единичное увеличение соответствующей ему Х- переменной (в данном случае термин «единичное» означает одну единицу измерения конкретной Х- переменной).

Коэффициент регрессии для размера читательской аудитории, b1=3,79, указывает, что – при всех прочих равных условиях – журнал с дополнительной тысячью читателей (поскольку у нас X1 измеряется в тысячах человек) берет (в среднем) на $3,79 больше за размещение одностраничного цветного рекламного объявления. Можно также считать, что коэффициент регрессии для размера читательской аудитории означает, что каждый дополнительный читатель увеличивает для этого журнала тариф на размещение рекламных объявлений на $0,00379, т.е. увеличение составляет чуть меньше половины цента на одного человека. Поэтому, если у какого-то другого журнала такой же процент читателей-мужчин и такой же показатель медианы дохода семьи читателей, но читательская аудитория на 3548 человек больше, то можно ожидать, что тариф на размещение рекламных объявлений в этом журнале будет (в среднем) на 3,79 × 3,548 = $13,45 больше благодаря такому отличию размера читательской аудитории.

Коэффициент регрессии для процента мужчин, b2 = -124, указывает, что (при всех прочих равных условиях) тариф на размещение цветных рекламных объявлений в журнале с дополнительным 1% читателей-мужчин окажется (в среднем) на $124 меньше. Это означает, что читательницы представляют для журнала большую ценность, чем читатели-мужчины. Статистический вывод должен подтвердить или опровергнуть эту гипотезу путем сравнения величины влияния процента мужчин (т.е. -$124) с тем, на что можно было бы рассчитывать, если бы при данных обстоятельствах все определялось лишь чистой случайностью.

Коэффициент регрессии для медианы дохода, b3 = 0,903, указывает, что (при всех прочих равных условиях) в журнале с дополнительным долларом медианы дохода его читателей тариф на размещение одностраничного цветного рекламного объявления будет (в среднем) на $0,903 больше. Положительный знак этого коэффициента совершенно оправдан, поскольку люди с более высоким уровнем доходов могут позволить себе тратить больше на покупку рекламируемой продукции. Если у какого-то другого журнала такой же процент читателей-мужчин и такая же величина читательской аудитории, но медиана дохода семей читателей на $4 000 выше, то можно ожидать, что тариф этого журнала на размещение рекламных объявлений будет на 0,903 × 4000 = $3612 выше (в среднем) благодаря более высокому уровню доходов его читателей.

Помните, что коэффициенты регрессии отражают влияние на Y одной X- переменной при условии, что все другие Х- переменные остаются неизменными. Это следует понимать буквально.

Например, коэффициент регрессии b3 отражает влияние медианы дохода читателей на рекламные тарифы; он вычисляется при неизменных величинах читательской аудитории и процента читателей-мужчин. В таком случае более высокие уровни доходов читателей, как правило, ведут к установлению более высоких тарифов на размещение рекламных объявлений (поскольку b3 является положительным числом) – при фиксированных размере читательской аудитории и проценте читателей-мужчин.

Какой была бы эта взаимосвязь, если бы остальные переменные (размер читательской аудитории и процент читателей-мужчин) не фиксировались на постоянном уровне? На этот вопрос можно ответить, проанализировав обычный коэффициент корреляции (или коэффициент регрессии, прогнозирующий Y на основании только одной этой Х- переменной), вычисленный только для двух переменных: тарифа и медианы дохода. В нашем случае более высокое значение медианы дохода фактически ассоциируется с более низким тарифом (корреляция тарифа и медианы дохода является отрицательной: -0,167)! Чем это объяснить? Вполне приемлемое объяснение заключается в том, что журналы, ориентирующиеся на читателей с более высоким средним уровнем доходов, не в состоянии обеспечить себе массовую аудиторию из-за того, что богатых людей среди населения страны в целом не так уж много. Если же эта читательская аудитория богатых людей окажется очень небольшой, это может вообще исказить эффект влияния высокого уровня доходов в расчете на одного читателя.