Цензурированная модель (tobit-модель).

Для описания зависимости цензурированной переменной yt от влияющих на нее факторов обычно используется так называемая tobit-модель.

Tobit-модель исходит из того, что цензурированная переменная yt   описывается следующим выражением:

yt=a¢×xt+et.                            (10.159)

где yt   – наблюдаемые значения зависимой переменной (например, либо фактические расходы на отдых за границей, либо 0); xt  – вектор независимых переменных, влияющих на зависимую переменную yt, a – вектор параметров; et  – ошибка модели.

Далее tobit-модель предполагает, что цензурированным значениям yt  (т. е. yt=0; b=0 – точка цензурирования)  соответствует неположительное произведение a¢×xt (a¢×xt£0); а нецензурированным  значениям yt   – положительное (a¢×xt>0).

Из выражения (10.159) следует, что условное математическое ожидание переменной уt   по факторам xt   определяется как

   M=a¢×xt.                           (10.160)

Математическое ожидание уt   с учетом цензурирования (т. е. M) для точки цензурирования b=0 определяются следующим образом (см. выражение (10.154)):

где

В соответствии с выражением (10.160) маржинальные эффекты факторов xt  для математического ожидания переменной уt   (без учета цензурирования) определяются как

В соответствии с выражением (10.161) маржинальные эффекты факторов xt  для математического ожидания переменной уt  с учетом цензурирования могут быть представлены в следующем виде:

Заметим, что tobit-модель предполагает, что изменение факторов xt  приводит к тому, что вероятность P(yt>0) и математическое ожидание М(yt|yt>0) обязательно меняются в одинаковом направлении. Действительно, согласно выражению (10.156) вероятность того, что уt>0 определяется как

P(уt>0)=P(a¢×xt >0)=F(a¢×xt /s).               (10.165)

Соответственно маржинальный эффект факторов xt  для вероятности P(уt>0) может быть представлен в следующем виде:

                                 ¶P(yt>0)/¶хt=j(a¢×xt)×a.                  (10.166)

Если коэффициент ai  положителен, то согласно выражениям (10.164) и (10.166) с увеличением фактора хit   (i=1,2,..., n; t=1,2,..., T) увеличивается как математическое ожидание М(yt|yt>0), так и вероятность P(yt>0), и, наоборот, при отрицательном ai  с ростом фактора хit   эти показатели уменьшаются.

Вместе с тем заметим, что эффект одновременного увеличения математического ожидания и вероятности при увеличении некоторого независимого фактора хi  на практике может и не иметь место. В частности, как показали Фин и Шмидт (Fin and Schmidt, 1984), независимая переменная хi, увеличивающая вероятность нецензурированного наблюдения (P(yt>0)), не всегда увеличивает и математическое ожидание переменной (М(yt|yt>0)). В качестве примера они приводят потери от пожаров в зданиях. Вероятность возникновения пожара в старом здании выше, следовательно ¶P(yt>0)/¶хit>0 (хit – возраст t-го здания), но так как старое здание стоит дешевле, то и пожар в нем приносит меньше убытков, т. е. ¶М(yt|yt>0)/¶хit<0. Таким образом, в данной задаче предполагается, что коэффициент ai  при факторе “возраст здания” имеет разные знаки в функциях вероятности и математического ожидания. В рамках tobit-модели это учесть невозможно.

Для описания процессов, в рамках которых предположение об одинаковом характере маржинального эффекта математического ожидания и вероятности не выполняется, была предложена более общая модель, являющаяся сочетанием одномерной probit-модели и усеченной регрессии (для нецензурированных значений зависимой переменной).

На основе probit-модели определяется вероятность нецензурированного (или цензурированного) наблюдения при данном наборе факторов xt.

P=F(g¢xt);  zt =1,

P=1–F(g¢xt); zt =0,                 (10.167)

где F(g¢xt) – интегральная функция закона нормального распределения, определяющая вероятность нецензурированного наблюдения; g  – вектор параметров модели, zt  – переменная-индикатор, принимающая значение 1 для нецензурированного наблюдения и значение 0 – для цензурированного.

Далее на основе модели усеченной регрессии определяется математическое ожидание нецензурированного наблюдения. В соответствии с выражением (10.150) математическое ожидание нецензурированной переменной может быть представлено в следующем виде:

M=a¢xt +s×lt.                      (10.168)

Заметим, что если g=a/s,  то модель (10.167)–(10.168) сводится к  tobit-модели.